Problema di trigonometria con parametro

[gcappellotto47]

Buongiorno
ho questo problema:

Nel triangolo ABC il lato AC misura $\sqrt{3}$ e l'angolo al vertice B misura $60°$. Determinare la misura dell'angolo $A\hat{C}B$ in modo che detta H la proiezione di A su BC valga la relazione
\[ AB+2HC=\frac{\sqrt{3}}{3}k \cdot AC\]

Ho pensato di risolvere il problema nel seguente modo:

\[ AB+2HC=\frac{\sqrt{3}}{3}k \cdot AC \rightarrow 2\sin x+2 \sqrt{3}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{3}k \cdot \sqrt{3}\]
\[ 2\sin x+2 \sqrt{3}\cos x=k\]
l'angolo $A\hat{C}B$ può variare fra $90°$ quando il lato AC coincide con AH e $0°$ quando BC coincide con AC.
Devo considerare come varia il parametro k; se il mio procedimento è corretto, dovrebbe essere:
\[ 2\sin 90°+2 \sqrt{3}\cos 90°=k \rightarrow k=2\]
\[ 2\sin 0+2 \sqrt{3}\cos 0=k \rightarrow k=2\sqrt{3}\]

Gradirei qualche osservazione o consiglio:
Grazie e saluti
Giovanni C.

[@melia]

Secondo me l'angolo $A\hat{C}B$ può arrivare a $2/3 pi$, perché la proiezione di a su BC può essere intesa come la proiezione sulla retta BC, sostegno del lato. Inoltre semplificherei la formula risolutiva trasformando $2\sin x+2 \sqrt{3}\cos x=k$ in $sin(x+pi/3)=k/4$.
Tutto il resto mi sembra risolto alla perfezione.

[orsoulx]

Penso che, essendo la funzione (con o senza la bella semplificazione proposta da @melia) non monotona nell'intervallo, non sia inutile ricordarti che i valori assunti da $ k $ agli estremi del medesimo non bastano per terminare la discussione.
Ciao

[@melia]

Certo, non ho detto che il problema era incompleto, credevo fosse sottinteso. Volevo fargli capire che, se gli estremi della discussione non coincidevano con i dati del libro, era perché le limitazioni non coincidevano con quelle pensate dall'autore.