Problema di trigonometria coi limiti
Ho un problema di trigonometria con i limiti: considera una circonferenza di raggio $r$ e una sua corda $AB =r$. Sul maggiore dei due archi $AB$ prendi un punto $P$ e poni $PBA=x$. Determina $BP$ in funzione di $x$. Ho considerato il triangolo $AOB$ ch essendo equilatero ha tutti angoli di $pi/3$, poi applicherei il teorema dei seni per trovare $PB$.
Il problema stà qui: non capisco come determinare l'angolo $APB$. Potreste aiutarmi per favore?
Il problema stà qui: non capisco come determinare l'angolo $APB$. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
Angoli al centro e angoli alla circonferenza non ti dicono niente?
Si, ma non ricordo come funzionano bene le cose. Come faccio a capire qual'è l'angolo al centro e alla circonferenza?
Se l'angolo al centro è $AOB$, l'angolo alla circonferenza potrebbe essere $OAB$ oppure $OBA$ o ancora $APB$. Come faccio a capire qual'è quello giusto?
Se l'angolo al centro è $AOB$, l'angolo alla circonferenza potrebbe essere $OAB$ oppure $OBA$ o ancora $APB$. Come faccio a capire qual'è quello giusto?
Guarda l'arco su cui insistono.
$O\hat(B)A$ non è l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro $A\hat(O)B$
Devono insistere sullo stesso arco
$O\hat(B)A$ non è l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro $A\hat(O)B$
Devono insistere sullo stesso arco
Si ma se fosse $APB$ l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro $AOB$, non capirei il perchè. In che modo sono collegati?
Sono collegati perché insistono sullo stesso arco AB. Invece ABO insiste su tutt'altro arco.
Quindi l'angolo $APB$ è legato al lato $AB$. Ed essendo un angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro, giusto? Ma in questo caso come posso dire che l'angolo al centro è $pi/3$. Quel valore mi è uscito solo perchè ho creato un triangolo equilatero, che posso costruire solo su $AB$
Se AB è r e allo stesso modo AO e OB devono essere r perché congiungono un punto della circonferenza con il centro, il triangolo AOB è equilatero (=lati uguali), non puoi costruirlo diversamente, quindi è anche equiangolo e i suoi angoli sono $pi/3$.
Ok, questo lo avevo dedotto, ma quel che stavo dicendo è: perchè l'angolo in $O$ risulta essere l'angolo al centro associato
all'angolo alla circonferenza $APB$
all'angolo alla circonferenza $APB$
@Zfres
Premesso che se leggessi un libro di geometria (delle medie, peraltro) avresti capito da due giorni, il "fatto" importante quando si parla di angoli al centro e angoli alla circonferenza è l'arco (e relativa corda) sul quale insistono tali angoli.
Quindi un angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco (o sulla stessa corda, il che è lo stesso).
Premesso che se leggessi un libro di geometria (delle medie, peraltro) avresti capito da due giorni, il "fatto" importante quando si parla di angoli al centro e angoli alla circonferenza è l'arco (e relativa corda) sul quale insistono tali angoli.
Quindi un angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco (o sulla stessa corda, il che è lo stesso).
Tranne il caso dell'angolo al centro maggiore di $180°$ (che però formalmente non è considerato angolo alla circonferenza).
edit: avevo sbagliato di scrivere.
edit: avevo sbagliato di scrivere.
Mi sembra che funzioni comunque … vedilo come limite, man mano che l'angolo al centro si avvicina all'angolo giro, l'angolo alla circonferenza si avvicina all'angolo piatto …
"ZfreS":
poi applicherei il teorema dei seni per trovare $PB$.
Dovresti usare questo teorema qui:
http://www.ripmat.it/mate/i/id/ide.html
Ottenendo
$\bar(PB)=2*R*cos(x-pi/3)\overset("archi associati")=2*R*cos(pi/3-x)$
$\bar(PA)=2*R*sen(x)$
[ot]Ripmat è un bellissimo sito. E' compendioso al punto giusto ma ha i link con le dimostrazioni di (praticamente) tutto. Non è mai ampolloso.[/ot]
@Sir
[ot]Guarda che funziona anche per angoli al centro maggiori di un angolo piatto, anzi funziona sempre; non si capisce cosa vuoi dire esattamente …[/ot]
[ot]Guarda che funziona anche per angoli al centro maggiori di un angolo piatto, anzi funziona sempre; non si capisce cosa vuoi dire esattamente …[/ot]
Infatti ultimamente sto facendo confusione 
. Il teorema funziona.
Quello che volevo dire, ma mi sono espresso male, afferiva a una situazione di questo genere:
E la mia osservazione voleva essere la seguente:
$\beta=pi-\alpha$
E dato che $sen(pi-\alpha)\overset("archi associati")=sen(\alpha)$ il teorema della corda vale lo stesso.
Però, ecco questo volevo dire, mi sono appena ricordato.
Sebbene $\delta$ e $\alpha$ insistono sulla stessa corda, dato che non insistono sullo stesso arco non vale $\delta=\2*\alpha$
Esiste una relazione, ma è diversa.
. Il teorema funziona.Quello che volevo dire, ma mi sono espresso male, afferiva a una situazione di questo genere:
E la mia osservazione voleva essere la seguente:
$\beta=pi-\alpha$
E dato che $sen(pi-\alpha)\overset("archi associati")=sen(\alpha)$ il teorema della corda vale lo stesso.
Però, ecco questo volevo dire, mi sono appena ricordato.
Sebbene $\delta$ e $\alpha$ insistono sulla stessa corda, dato che non insistono sullo stesso arco non vale $\delta=\2*\alpha$
Esiste una relazione, ma è diversa.
Premesso che se leggessi un libro di geometria (delle medie, peraltro) avresti capito da due giorni, il "fatto" importante quando si parla di angoli al centro e angoli alla circonferenza è l'arco (e relativa corda) sul quale insistono tali angoli.
Quindi un angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco (o sulla stessa corda, il che è lo stesso).
Ok, il teorema ce l'ho presente, ma quel che dico dall'inizio è che, relativamente al disegno non vedo la relazione che sussiste tra angolo al centro e alla circonferenza. Potresti farmi un disegnino anche fatto male, ma solo per capire il perchè, e in seguito come puoi affermare che l'angolo al centro sia di $pi/3$ ?
Se l'avessi veramente "presente" non saremmo qui a parlarne da tre giorni ... te lo abbiamo scritto in tre come funziona ...
Se la corda $AB$ è pari al raggio, è evidente che il triagolo $AOB$ è equilatero dato che ha tutti e tre i lati uguali.
Se è equilatero, è anche equiangolo perciò ogni angolo (del triangolo equilatero $AOB$) sarà pari a $(180°)/3=60°$.
Proseguendo, applicando il famoso teorema di cui stiamo parlando da un po' (angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco), notiamo che l'angolo al centro $AOB$ e l'angolo alla circonferenza $APB$ insistono sullo stesso arco minore $AB$, di conseguenza vale il teorema suddetto e quindi $APB=30°$
Se la corda $AB$ è pari al raggio, è evidente che il triagolo $AOB$ è equilatero dato che ha tutti e tre i lati uguali.
Se è equilatero, è anche equiangolo perciò ogni angolo (del triangolo equilatero $AOB$) sarà pari a $(180°)/3=60°$.
Proseguendo, applicando il famoso teorema di cui stiamo parlando da un po' (angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco), notiamo che l'angolo al centro $AOB$ e l'angolo alla circonferenza $APB$ insistono sullo stesso arco minore $AB$, di conseguenza vale il teorema suddetto e quindi $APB=30°$
Ecco, non capivo che anche $APB$ insistesse sull'arco $AB$. Mi sono incuriosito del disegno che ha fatto SirDanielFortesque, cosa voleva rappresentare? E' inerente a questo problema?
No non è inerente al problema nello specifico.
"ZfreS":
Ecco, non capivo che anche $APB$ insistesse sull'arco $AB$.
Sinceramente, non capisco questa frase … secondo te le lettere $A$ e $B$ nella denominazione dell'angolo cosa vogliono dire? Idem nell'arco …
In casi di questo genere credo che la cosa migliore sia partire da zero; prego quindi ZfreS ed anche gli altri di non spazientirsi se verrà loro spontaneo esclamare "Ma sì, questo lo sapevo!"
Si dice che un angolo (al centro o alla circonferenza) insiste su un arco quando si verificano entrambe le condizioni
1) i lati dell'angolo passano per gli estremi dell'arco;
2) l'arco sta dentro all'angolo, inteso come parte di piano.
Tornerò più avanti su queste condizioni, con altri esempi; ora vediamo di proseguire.
Quando in un problema sulla circonferenza si ha uno degli angoli in questione, conviene chiedersi "Fra gli angoli noti (al centro o alla circonferenza), ce n'è un altro i cui lati incontrino la circonferenza negli stessi punti?": se c'è, di solito la prima e l'ultima delle tre lettere che lo identificano sono uguali a quelle dell'angolo che avevi. Devi controllare che valga anche la condizione 2 e poi puoi trarne le conclusioni.
Nel disegno che hai fatto, vediamo che i lati dell'angolo $AhatPB$ incontrano la circonferenza nei punti $A,B$ e che lo fanno anche i lato di $AhatOB$ (confronta questi due nomi degli angoli: la prima e l'ultima lettera sono uguali, come ti dicevo); la condizione 2 è soddisfatta, quindi l'angolo alla circonferenza e l'angolo al centro insistono sullo stesso arco e si può applicare il teorema.
Per fare altri esempi sulle due condizioni, nella tua figura congiungi $O$ con $P$: gli angoli $BhatAP$ e $BhatOP$ insistono sullo stesso arco $hat(BP)$. Verrebbe spontaneo dire che questo che questo succede anche per $AhatBP$ e $AhatOP$ ed è vero, ma con una precisazione: il primo angolo insiste sul maggiore degli archi $hat(AP)$ (quello al di sopra), quindi deve farlo anche il secondo. Perciò, fra i due angoli che si chiamano $AhatOP$, dobbiamo considerare quello concavo (cioè quello sopra, che non ha B al suo interno)
Si dice che un angolo (al centro o alla circonferenza) insiste su un arco quando si verificano entrambe le condizioni
1) i lati dell'angolo passano per gli estremi dell'arco;
2) l'arco sta dentro all'angolo, inteso come parte di piano.
Tornerò più avanti su queste condizioni, con altri esempi; ora vediamo di proseguire.
Quando in un problema sulla circonferenza si ha uno degli angoli in questione, conviene chiedersi "Fra gli angoli noti (al centro o alla circonferenza), ce n'è un altro i cui lati incontrino la circonferenza negli stessi punti?": se c'è, di solito la prima e l'ultima delle tre lettere che lo identificano sono uguali a quelle dell'angolo che avevi. Devi controllare che valga anche la condizione 2 e poi puoi trarne le conclusioni.
Nel disegno che hai fatto, vediamo che i lati dell'angolo $AhatPB$ incontrano la circonferenza nei punti $A,B$ e che lo fanno anche i lato di $AhatOB$ (confronta questi due nomi degli angoli: la prima e l'ultima lettera sono uguali, come ti dicevo); la condizione 2 è soddisfatta, quindi l'angolo alla circonferenza e l'angolo al centro insistono sullo stesso arco e si può applicare il teorema.
Per fare altri esempi sulle due condizioni, nella tua figura congiungi $O$ con $P$: gli angoli $BhatAP$ e $BhatOP$ insistono sullo stesso arco $hat(BP)$. Verrebbe spontaneo dire che questo che questo succede anche per $AhatBP$ e $AhatOP$ ed è vero, ma con una precisazione: il primo angolo insiste sul maggiore degli archi $hat(AP)$ (quello al di sopra), quindi deve farlo anche il secondo. Perciò, fra i due angoli che si chiamano $AhatOP$, dobbiamo considerare quello concavo (cioè quello sopra, che non ha B al suo interno)
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