Problema di trigonometria
Salve a tutti potreste aiutarmi perfavore a risolvere questo problema di trigonometria?non riesco a risolverlo.
Si conduca internamente a un angolo retto A$O^$B una semiretta OC che forma con OA un angolo A$O^$C=x; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M e N tali che OM=1, ON= $sqrt3$, siano M' e N' le rispettiva proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio di M'N', si determini in funzione di x l'area del trinaoglo NOP. Si rappresenti in un sistema di riferimento cartesiano la funzione A( x) così ottenuta e si determini poi per quale valore di x l'area del triangolo NOP risulta massima.
Dunque io sono riuscito a trovare poche cose:chiamo con $alpha$ l'angolo in O del triangolo ONN'=90-x,$N^{\prime}$=90,mentre $N^$=180-[(90-x)+90]=x,NN'=$sqrt3$*cosx,ON'=$sqrt3$*sinx,$M^{\prime}$=90,$M^$=180-(90+x).
poi nn so come andare avanti
Si conduca internamente a un angolo retto A$O^$B una semiretta OC che forma con OA un angolo A$O^$C=x; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M e N tali che OM=1, ON= $sqrt3$, siano M' e N' le rispettiva proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio di M'N', si determini in funzione di x l'area del trinaoglo NOP. Si rappresenti in un sistema di riferimento cartesiano la funzione A( x) così ottenuta e si determini poi per quale valore di x l'area del triangolo NOP risulta massima.
Dunque io sono riuscito a trovare poche cose:chiamo con $alpha$ l'angolo in O del triangolo ONN'=90-x,$N^{\prime}$=90,mentre $N^$=180-[(90-x)+90]=x,NN'=$sqrt3$*cosx,ON'=$sqrt3$*sinx,$M^{\prime}$=90,$M^$=180-(90+x).
poi nn so come andare avanti
Risposte
Hai calcolato ON'; osservando il triangolo rettangolo OMM' calcoli anche OM' e poi OP che è la loro media. A questo punto conosci due lati e l'angolo compreso del triangolo NOP e ne calcoli l'area con l'apposito teorema.
quindi OM'=cosx,OP=cosx+ $(sqrt3sinx-cosx)/2$
l'area sarebbe allora: $1/2$*$(sqrt3sinx-cosx)/2$*$sqrt3$*sin$alpha$,è giusto?
e la x come la trovo?
l'area sarebbe allora: $1/2$*$(sqrt3sinx-cosx)/2$*$sqrt3$*sin$alpha$,è giusto?
e la x come la trovo?
Non capisco il tuo $alpha$: si ha $N \hat O N'=90^o-x$ e $O \hatN N'=x$.
Attenzione all'area: è $1/2*ON*OP*sin(90^o-x)$.
La x non la trovi: il problema chiede il grafico di A(x) e il suo massimo.
Attenzione all'area: è $1/2*ON*OP*sin(90^o-x)$.
La x non la trovi: il problema chiede il grafico di A(x) e il suo massimo.
il problema vuole il valore dell'area e poi rappresentarla sul grafico
Certo che vuole l'area, ma in funzione di x. Se per esempio tu trovassi area=5, come potresti rappresentarla sul grafico? (Bé, una retta parallela all'asse x, ma è evidente che non è quello che si vuole)
ma quindi l'area che è uscita a me è giusta? se si come faccio a rappresentarla e cosa intende per area massima?
No, l'area non è giusta perchè hai usato una formula sbagliata per OP; inoltre non devi usare $alpha$.
Quanto alle altre domande, costituiscono un problema di analisi: o conosci questa parte della matematica (e allora le tue domande diventano assurde), oppure non puoi rispondere (con qualche rara eccezione, che mi pare qui non ci sia)
Quanto alle altre domande, costituiscono un problema di analisi: o conosci questa parte della matematica (e allora le tue domande diventano assurde), oppure non puoi rispondere (con qualche rara eccezione, che mi pare qui non ci sia)
e come sarebbe allora l'esatta risoluzione?
$OP=cosx+ (sqrt3sinx-cosx)/2=(sqrt3sinx+cosx)/2$
per cui l'area viene allora: $1/2*(sqrt3sinx+cosx)/2*sqrt3*sin(90-x)$
ricordando che
$sin (90-x)=cosx$
$sinx*cosx=1/2 sin(2x)$ e
$cos^2 x=1/2 (cos2x+1)$
l'area diventa $A=sqrt3/4*(sqrt3 sinxcosx+cos^2x)=sqrt3/4*(sqrt3/2 sin2x+1/2cos2x+1/2)$
ma $sqrt3/2=cos 30$ e $1/2=sin 30$ perciò
$A=sqrt3/4*(cos 30 sin2x+sin 30 cos2x+1/2)=sqrt3/4*sin(2x+30)+sqrt3/8$ funzione della quale non è particolarmente difficile trovare il massimo
per cui l'area viene allora: $1/2*(sqrt3sinx+cosx)/2*sqrt3*sin(90-x)$
ricordando che
$sin (90-x)=cosx$
$sinx*cosx=1/2 sin(2x)$ e
$cos^2 x=1/2 (cos2x+1)$
l'area diventa $A=sqrt3/4*(sqrt3 sinxcosx+cos^2x)=sqrt3/4*(sqrt3/2 sin2x+1/2cos2x+1/2)$
ma $sqrt3/2=cos 30$ e $1/2=sin 30$ perciò
$A=sqrt3/4*(cos 30 sin2x+sin 30 cos2x+1/2)=sqrt3/4*sin(2x+30)+sqrt3/8$ funzione della quale non è particolarmente difficile trovare il massimo
grazie a tutti per l'aiuto,per quanto riguarda l'area massima il professore si è accorto solo dopo che nn saremmi riusciti a trovarla perchè io faccio il 4.
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