Problema di trigonometria

[gabriello47]

Sperando di trovare, di questi temoi, qualche cervello connesso, ho da risolvere il seguente problema trigonometrico. Di un triangolo acutangolo $MNP$ inscritto in una circonferenza di raggio $r=2$ sono dati$ MN=2*sqrt(3)$ E L'AREA $S=3 +sqrt(3)$ . DEVO TROVARE GLI ANGOLI.

Col teorema della corda trovo l'angolo opposto a $MN$ , ma per gli altri?

[zep1]

Hai l'area che è uguale a $1/2absenalpha$ con a e b 2 lati e $alpha$ l'angolo compreso tra essi

[gabriello47]

"zep":Hai l'area che è uguale a $1/2absenalpha$ con a e b 2 lati e $alpha$ l'angolo compreso tra essi

il problema è che non conosco nè $a$ nè $b$

[adaBTTLS1]

il modo più semplice mi sembra il seguente:
ricavi l'altezza PH dai dati che hai (2S/MN) -> $PH=sqrt(3)+1$
poi chiami x ed y le proiezioni dei lati PM e PN su MN (il triangolo è acutangolo) ed imponi il sistema seguente (utilizzando il secondo teorema di Euclide... senza utilizzare il raggio...?!):
${[x+y=2*sqrt(3)], [x*y=(sqrt(3)+1)^2] :}$

ci sarà qualche discussione geometrica da fare, ma poi dovrebbe essere banale completare l'esercizio. ciao.

[adaBTTLS1]

aggiungo che forse il raggio ti veniva dato per far intuire che l'angolo al centro MON è di 120°, e quindi l'angolo alla circonferenza MPN deve essere di 60°....
non so quanto possa essere significativo, ma....! ciao.

[kqpsi]

1. Cominciamo con il calcolare l'angolo in $\hatP$:

$MN = 2rsin\hatP rArr sin\hatP=sqrt3/2 rArr \hatP=pi/3$


2. Ora l'angolo in $\hatN$

pongo x = ampiezza(N)

$\{(PN=(2S)/(MN*sinx)), (PN=2r*sin(pi-x-pi/3)):}$

dove la prima equazione viene fuori dalla formula dell'area di un triangolo dati due lati e l'angolo compreso; la seconda dal teorema della corda.

Da ciò:
$S/(MN*r)=sinx*sin(x+pi/3) hArr sinx*sin(x+pi/3)=(3+sqrt3)/(4sqrt3)$

$sinx(1/2sinx+sqrt3/2cosx)=(3+sqrt3)/(4sqrt3)$

$1/2sin^2x+sqrt3/2sinxcosx=(3+sqrt3)/(4sqrt3)$

$(1-cos(2x))+sqrt3sin(2x)=sqrt3+1$

$sqrt3sin(2x)-cos(2x)=sqrt3$

$sqrt3/2sin(2x)-1/2cos(2x)=sqrt3/2$

$sin(2x-pi/6)=sqrt3/2$

$2x-pi/6=pi/3 hArr x=pi/4$

3. Ora l'angolo in $\hatM$

$\hatM = pi-pi/4-pi/3=5/12pi$

Saluti

[gabriello47]

"adaBTTLS":il modo più semplice mi sembra il seguente:
ricavi l'altezza PH dai dati che hai (2S/MN) -> $PH=sqrt(3)+1$
poi chiami x ed y le proiezioni dei lati PM e PN su MN (il triangolo è acutangolo) ed imponi il sistema seguente (utilizzando il secondo teorema di Euclide... senza utilizzare il raggio...?!):
${[x+y=2*sqrt(3)], [x*y=(sqrt(3)+1)^2] :}$

ci sarà qualche discussione geometrica da fare, ma poi dovrebbe essere banale completare l'esercizio. ciao.

ma il triangolo $PMN$ non è rettangolo, quindi niente Euclide. Mi pare

[adaBTTLS1]

sì, scusami, ho scritto una grande cavolata... ho anche detto che l'angolo in questione è di 60°...
vorrei provare a riscattarmi, suggerendo un altro metodo, ma se hai risolto con l'aiuto di kqpsi mi fermo qui. scusa ancora. ciao.