ProbleMA DI TRIGONOMETRIA (40549)

[valepisa]

in una circonferenza di raggio di misura r è data la corda AB=r*radice di 3; si conduca nel maggiore dei segmenti di cerchio determinati da AB,la corda AC che formi con AB l'angolo x. determinare x in modo che si abbia AC(alla seconda) - BC(alla seconda)= 3r ( r è alla seconda)

[BIT5]

Una volta fatto il diegno, unisci il centro O ai punti A, C e B.
Tutti i segmenti (OA,OB e OC) sono raggi (=r)

Consideriamo il triangolo ABO. Questo e' isoscele (AO=OB=r) e ne conosciamo la base AB.

Pertanto l'angolo OAB=30, e ABO=30. Pertanto BOA=120.

Come chiesto dal problema, poni l'angolo OAC=x

In verita' i casi che si potranno presentare sono due (piu' uno intermedio).

Se l'angolo x=90, allora BC giace sul diametro.

Se l'angolo x90 avrai due situazioni (a livello grafico) differenti.

Ma nulla cambia ai fini della risoluzione dell'esercizio.

Allora: considera il triangolo ACO, isoscele (OA=OC) di cui conosci gli angoli alla base (x-30) e pertanto l'angolo al vertice (180-(x-30)-(x-30)=240-2x).

Puoi calcolare la lunghezza di meta' di AC (tracciando l'altezza del triangolo isoscele).

Essa sara'

[math] r \cos (x-30) [/math]

E quindi

[math] \bar{AC}=2r \cos (x-30) [/math]

L'angolo COB (in O) sara' l'angolo al vertice del triangolo isoscele BCO e misurera' 360-COA-120=2x.

Quindi gli angoli alla base del triangolo BOC misureranno rispettivamente -90+x.

Ma allora meta' di BC (sempre tracciando l'altezza) misurera'

[math] r \cos (-90+x) [/math]

Raccogliamo un meno,

[math] r \cos(- (90-x)) [/math]

Ricordando che

[math] \cos - \alpha = \cos \alpha [/math]

avremo

[math] r \cos (- (90-x))= r \cos (90-x) [/math]

e per gli angoli associati

[math] r \sin x [/math]

E quindi BC che era il doppio di quanto trovato,

[math] 2r \sin x [/math]

Pertanto la relazione proposta dal problema sara':

[math] (2r \cos (x-30))^2- (2r \sin x)^2=3r^2 [/math]

Ricordando le formule di sottrazione del coseno:

[math] \cos (x-30)= \cos 30 \cos x + \sin 30 \sin x = \frac{ \sqrt3}{2} \cos x + \frac12 \sin x [/math]

Dunque sostituendo alla formula

[math] (2r ( \frac{ \sqrt3}{2} \cos x + \frac12 \sin x))^2-4r^2 \sin^2 x=3r^2 [/math]

Moltiplichiamo

[math] ( \sqrt3 r \cos x + r \sin x)^2-4r^2 \sin^2 x = 3r^2 [/math]

Eseguiamo il quadrato del binomio

[math] 3r^2 \cos^2 x + r^2 \sin^2 x +2r^2 \sqrt3 \cos x \sin x - 4r^2 \sin^2 x = 2r^2 [/math]

Semplifica tutte le r e somma i monomi simili

[math] 3 \cos^2 x - 3 \sin^2 x + 2 \sqrt 3 \cos x \sin x = 3 [/math]

Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria (

[math] 1 = \sin^2 x + \cos^2 x [/math]

)

[math] 3 \cos^2 x - 3 \sin^2 x + 2 \sqrt 3 \cos x \sin x = 3 (\sin^2 x + \cos^2 x)[/math]

Moltiplicando e sommando...

[math] -6 \sin^2 x + 2 \sqrt3 \cos x \sin x = 0 [/math]

Raccogliamo senx

[math] \sin x (-6 \sin x +2 \sqrt3 \cos x)=0 [/math]

Da cui:

[math] \sin x=0 \to x=0 \ e \ x=180 [/math]

(sono casi limite)

oppure

[math] -6 \sin x + 2 \sqrt3 \cos x=0 [/math]

dividiamo per cos x (ponendo cosx0 --> x90)

[math] -6 \tan x + 2 \sqrt3 = 0 \to \tan x = \frac{ \sqrt3}{3}[/math]

E quindi

[math] x= 30 [/math]

Per verificare il risultato, sostituiamo alla relazione e otteniamo:

[math] 4r^2 \cos^2 (30-30)-4r^2 \sin^2 30 = 4r^2-4r^2 \frac14 = 3r^2 [/math]

Pertanto il problema e' risolto quando AC e' il diametro della circonferenza (e quindi l'angolo CBA retto).

Infatti in questo caso il triangolo e' inscritto in una semicirconferenza, (quindi rettangolo) e ha l'ipotenusa AC=2r (pertanto BC= AC sen30=r).