Problema di trigonometria
devo aiutare mio cugino a fare questo es ma non avendo fatto il liceo non so da dove partire... 
sia ABC un triangolo equilatero. Sia data una circonferenza a esso circoscritta di raggio r. Sull'arco AB che non contiene C prendi il punto P. Calcola ABP (angolo) in modo che l area del quadrilatero APBC sia 4/3 dell area del triangolo equilatero.
risutlato pi grego /6.
beh io ho pensato che se il quadrilatero è i 4/3 dell area del triangolo grande, il triangolo ABP sarà un terzo di ABC. poi ho provato a usare le formule dell area e il teorema del seno ma non si sbuca da nessuna parte.
grazie a chi vorrà darmi una mano!!
sia ABC un triangolo equilatero. Sia data una circonferenza a esso circoscritta di raggio r. Sull'arco AB che non contiene C prendi il punto P. Calcola ABP (angolo) in modo che l area del quadrilatero APBC sia 4/3 dell area del triangolo equilatero.
risutlato pi grego /6.
beh io ho pensato che se il quadrilatero è i 4/3 dell area del triangolo grande, il triangolo ABP sarà un terzo di ABC. poi ho provato a usare le formule dell area e il teorema del seno ma non si sbuca da nessuna parte.
grazie a chi vorrà darmi una mano!!
Risposte
Il lato del triangolo equilatero è $sqrt3*r$ per cui la sua area diventa $(3sqrt3)/4r^2$.
Indichiamo con x l'angolo ABP. Si ha che ACP = x in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco per cui l'angolo PCB è 60° - x. Per il teorema della corda si ha perciò $PB=2rsen(60°-x)$. L'area del triangolo ABP è dunque:
$A=(AB*BP*senx)/2=sqrt3*r^2sen(60°-x)senx$
Essa deve essere uguale a $(sqrt3)/4r^2$ per cui si ottiene l'equazione $4sen(60°-x)senx-1=0$
Risolvendola si trova il valore x = 30°.
P.s. Ho corretto l'area.
Indichiamo con x l'angolo ABP. Si ha che ACP = x in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco per cui l'angolo PCB è 60° - x. Per il teorema della corda si ha perciò $PB=2rsen(60°-x)$. L'area del triangolo ABP è dunque:
$A=(AB*BP*senx)/2=sqrt3*r^2sen(60°-x)senx$
Essa deve essere uguale a $(sqrt3)/4r^2$ per cui si ottiene l'equazione $4sen(60°-x)senx-1=0$
Risolvendola si trova il valore x = 30°.
P.s. Ho corretto l'area.
"MaMo":
Il lato del triangolo equilatero è $sqrt3*r$ per cui la sua area diventa $(3sqrt3)/4r^2$.
Indichiamo con x l'angolo ABP. Si ha che ACP = x in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco per cui l'angolo PCB è 60° - x. Per il teorema della corda si ha perciò $PB=2rsen(60°-x)$. L'area del triangolo ABP è dunque:
$A=(AB*BP*sen(60°-x))/2=sqrt3*r^2sen(60°-x)senx$
Essa deve essere uguale a $(sqrt3)/4r^2$ per cui si ottiene l'equazione $4sen(60°-x)senx-1=0$
Risolvendola si trova il valore x = 30°.
in $A=(AB*BP*sen(60°-x))/2=sqrt3*r^2sen(60°-x)senx$ da dove arriva il $sen x$?
grazie!!
Ho fatto un errore di battitura. Ora ho corretto la formula.
"MaMo":
Ho fatto un errore di battitura. Ora ho corretto la formula.
perfetto grazie!!
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