Problema di Trigonometria
Salve, sto provando a risolvere questo problema da svariati giorni ma non ne vengo a capo .
Ho un rettangolo \(\displaystyle \overline{ABCD} \), di base x e altezza h. Traccio la diagonale \(\displaystyle \overline{AC} \), tale che \(\displaystyle \angle CAB \) = \(\displaystyle \Theta1 \). Disegno poi un quadrato \(\displaystyle \overline{AEFG} \), di lato 5u, che si trovera dunque sul vertice del rettangolo. Traccio dunque i segmenti \(\displaystyle \overline{FC} \) e \(\displaystyle \overline{FB} \), che individuano un angolo \(\displaystyle \Theta 2\). Devo duenque trovare h e x, in funzione di \(\displaystyle \Theta 1\) e \(\displaystyle \Theta 2\).
Con \(\displaystyle \Theta 1\) non ho avuto problemi, infatti \(\displaystyle \tan (\displaystyle \Theta 1) \) = \(\displaystyle h/ x \). Per legare \(\displaystyle \Theta 2\), ho provato varie strade, ma tutte portano a risultati eccessivamente complessi. Innanzituto ho provato a dividere \(\displaystyle \Theta 2\) in \(\displaystyle \alpha\) e \(\displaystyle \beta \), con una retta r, parallela ad x. Lavorando con tangenti e arcotangenti, trovo che \(\displaystyle \Theta 2 = \arctan \frac{5u}{x-5u} + \arctan \frac{h- 5u}{x-5u} \)
Duqnue, la \(\displaystyle \tan \theta 2 =\frac{h (x-5u)}{(x-5u) ^ 2 - 5u(h-5u)} \) e da qui non mi muvo più...
Ho provato dunque una stada alternativa, sempre per \(\displaystyle \Theta 2\) . L' Area del triangolo \(\displaystyle \triangle CFB \) è infatti calcolabile in 2 modi:
o \(\displaystyle \frac{h(x-5u)}{2} \)
o \(\displaystyle \frac{\overline{FB}\times \overline{FC}\times \sin\theta 2 }{2} \)
Solo che, calcolando \(\displaystyle \overline{FB} e \overline{FC} \), mi blocco in numeri che non riesco a semlificare.
Rigrazio chi proverà a risolverlo e chiedo scusa se ho commesso eventuali errori di battitura, sopratutto con MathJax. Grazie mille e buona serata
Ho un rettangolo \(\displaystyle \overline{ABCD} \), di base x e altezza h. Traccio la diagonale \(\displaystyle \overline{AC} \), tale che \(\displaystyle \angle CAB \) = \(\displaystyle \Theta1 \). Disegno poi un quadrato \(\displaystyle \overline{AEFG} \), di lato 5u, che si trovera dunque sul vertice del rettangolo. Traccio dunque i segmenti \(\displaystyle \overline{FC} \) e \(\displaystyle \overline{FB} \), che individuano un angolo \(\displaystyle \Theta 2\). Devo duenque trovare h e x, in funzione di \(\displaystyle \Theta 1\) e \(\displaystyle \Theta 2\).
Con \(\displaystyle \Theta 1\) non ho avuto problemi, infatti \(\displaystyle \tan (\displaystyle \Theta 1) \) = \(\displaystyle h/ x \). Per legare \(\displaystyle \Theta 2\), ho provato varie strade, ma tutte portano a risultati eccessivamente complessi. Innanzituto ho provato a dividere \(\displaystyle \Theta 2\) in \(\displaystyle \alpha\) e \(\displaystyle \beta \), con una retta r, parallela ad x. Lavorando con tangenti e arcotangenti, trovo che \(\displaystyle \Theta 2 = \arctan \frac{5u}{x-5u} + \arctan \frac{h- 5u}{x-5u} \)
Duqnue, la \(\displaystyle \tan \theta 2 =\frac{h (x-5u)}{(x-5u) ^ 2 - 5u(h-5u)} \) e da qui non mi muvo più...
Ho provato dunque una stada alternativa, sempre per \(\displaystyle \Theta 2\) . L' Area del triangolo \(\displaystyle \triangle CFB \) è infatti calcolabile in 2 modi:
o \(\displaystyle \frac{h(x-5u)}{2} \)
o \(\displaystyle \frac{\overline{FB}\times \overline{FC}\times \sin\theta 2 }{2} \)
Solo che, calcolando \(\displaystyle \overline{FB} e \overline{FC} \), mi blocco in numeri che non riesco a semlificare.
Rigrazio chi proverà a risolverlo e chiedo scusa se ho commesso eventuali errori di battitura, sopratutto con MathJax. Grazie mille e buona serata
Risposte
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Grazie mille, mi mancava il passaggio di portare la $tan theta 2$ a sinistra.
Grazie ancora
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