Problema di trigonometria

[Ellihca]

Buona sera, chiedo per favore se qualcuno può darmi uno spunto con il seguente prooblema:
in una circonferenza di raggio di misura r si consideri il diametro EF.
Preso su EF un punto H, si costruisca il triangolo equilatero DEC, avente D e C interni al cerchio, in modo che EH rappresenti un'altezza del triangolo. Si determini la misura di EH in modo che, condotta la parallela a EH per D, e detta A l'intersezione con la circonferenza situata dalla parte opposta di E rispetto alla retta DC, si abbia AD=DC
Trovo che
$ HE=sqrt3*DC/2 $
ma non riesco a collegare questo con l'informazione che AD=DC;
Grazie in anticipo,

[@melia]

Il problema viene in modo discretamente semplice senza la trigonometria, ho indicato con K la proiezione di A sul diametro EF. Posto $bar(DC)=x$ e $bar(EK)=y$ ottengo le due equazioni
$y-sqrt3/2 x=x$
e
$1/4x^2=y(2r-y)$ quest'ultima ottenuta applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo EAF.
Mettendo a sistema le due equazioni mi viene che il lato del triangolo misura $r$.

Lo so, non ti ho aiutato molto, ma non riesco a vedere come risolverlo usando la trigonometria, sono un po' giù di allenamento.

[Ellihca]

Grazie per la cortese risposta !
Io ho indicato con P la proiezione di O sul segmento DA.
$ DH=(EH)/sqrt3=1/2DC $
$ DA=DC=2DH $
$ PA=2DH-HO $
$ HO=r-sqrt(3)DH $
quindi
$ PA=2DH-(r-sqrt(3)DH)=DH(2+sqrt(3))-r $
dopo di che ho applicato Pitagora e risolto l'equazione in funzione di DH
$ r^2=PA^2+DH^2 $
esula un po' dalla trigonometria pura ...

per l'angolo $ Ahat(E) H $ è facile: il triangolo AEF e AET (T la proiezione di a su EF) sono simili e rettangoli ed hanno EA in comune...qui si risolve con le formule di trigonometria

Grazie ancora e buona notte !