Problema di terzo liceo scientifico.

[Marco241]

Salve ragazzi,

non riesco a risolvere il seguente problema:

E' dato il trapezio ABCD avente $ hat(B)=hat(C)=90° $ , $ hat(DAB)=120° $ , $ bar(AB)=6 $ e $ bar(CD)=9 $ .Calcolare il perimetro del trapezio e dimostrare che la diagonale BD è bisettrice dell'angolo D.Condurre per A e B le perpendicolari alla bisettrice BD fino ad incontrare in E e F la retta CD.Determinare sul segmento BF il punto P per il quale risulti minima la somma:


$ bar(PE)^2+bar(PF)^2 $ .

Nota bene:Da risolvere con conoscenze da terzo liceo scientifico.

SVOLGIMENTO:

Bene all'inizio non noto nulla di ostico.Come prima cosa vi dico come imposto le lettere.

A partire dall'alto e in senso antiorario scrivo le lettere ABCD.Come richiesto dal problema gli angoli in B e C sono retti.

Come ben sappiamo in un trapezio gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari di conseguenza:

$ hat(D)=60° $

e qui comincio a notare una sfizza di angoli da 90,30 e 60 gradi.Proseguiamo:

$ bar(DH)=3 $

$ bar(AD)=6 $

$ bar(AH)=3*sqrt(3) $

E qui noto:

$ bar(AB)=bar(AD) $

Dunque il triangolo ABD è isoscele e con una semplice equazione ricavo che gli angoli alla base sono di $ 30° $ e con una semplice sottrazione tra angoli scrivo $ hat(BDC)=30° $ .Quindi abbiamo dimostrato che $ bar(BD) $ è bisettrice dell'angolo in $ hat(D) $ .

Il perimetro è $ 3*(7+sqrt(3)) $ .

Andiamo avanti e calcoliamo un pò di lati.

Prolungo $ bar(CD) $ e traccio le perpendicolari a partire da A e B che incontrano la retta $ bar(CD) $ in $ E $ e $ F $ .

indico con T l'intersezione di $ bar(AE) $ e $ bar(BD) $ .

Poi...

$ bar(TD)=3*sqrt(3) $

$ bar(BT)=3*sqrt(3) $

$ bar(BD)=6*sqrt(3) $

$ bar(DE)=6 $

$ bar(TE)=3 $

$ bar(FD)=12 $

$ bar(BF)=6 $

Tutti questi lati li ho calcolati applicando delle semplici equazioni e ricordando le proprietà degli angoli di 90,60 e 30 gradi e applicando il teorema di Pitagora.

Pongo poi

$ bar(PB)=x $

$ bar(TE)=3 $

$ bar(BT)=3*sqrt(3) $

$ bar(KE)=3-x $ K è l'intersezione tra l'altezza PK e AE.

$ bar(PK)=3*sqrt(3) $

Mi calcolo $ bar(PE) $ e $ bar(PF) $ imponendo che x oscilli tra 0 e 6 ma...non viene...Qual'è l'errore?Nel mio disegno il quadrilatero $ PBTE $ è un trapezio rettangolo...infatti le rette $ bar(BF) $ e $ bar(AE) $ sono perpendicolari a $ bar(BD) $ e dunque sono parallele tra loro...

Il libro da la seguente soluzione che io non capisco:

$ bar(PF)=2x $ , con $ 0<=x<=3 $ e $ bar(PE)^2+bar(PF)^2=8x^2-12x+36 $ ,il minimo è $ 63/2 $ per $ x=3/4 $

[Marco241]

perchè x deve oscillare tra 0 e 3? P sta su BF e quindi deve oscillare tra zero e 6...

[@melia]

Perché il segmento PF è indicato con 2x, quindi $0<2x<6$ da cui $0

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[Marco241]

Ciao Melia e grazie per avermi risposto.

praticamente il problema alla fine considera il trapezio rettangolo con base maggiore PB e fa variare la x sulla base minore che è 3.Poi con semplici calcoli mi trovo PE e la discussione viene.