Problema di secondo liceo scientifico
Sentite questo problema:
In una circonferenza il cui raggio misura r è inscritto un trapezio isoscele contenente il centro e avente per basi il lato del triangolo equilatero e quello dell'esagono regolare inscritti nella stessa circonferenza.Calcolare la misura del perimetro e l'area del trapezio.
Allora
Per fare una costruzione il più accurata possibile sfrutto le conoscenze acquisite in disegno e mi costruisco un esagono regolare e poi un triangolo equilatero all'interno dell' esagono...Ma come cavolo fa ad ottenere un trapezio isoscele?
In una circonferenza il cui raggio misura r è inscritto un trapezio isoscele contenente il centro e avente per basi il lato del triangolo equilatero e quello dell'esagono regolare inscritti nella stessa circonferenza.Calcolare la misura del perimetro e l'area del trapezio.
Allora
Per fare una costruzione il più accurata possibile sfrutto le conoscenze acquisite in disegno e mi costruisco un esagono regolare e poi un triangolo equilatero all'interno dell' esagono...Ma come cavolo fa ad ottenere un trapezio isoscele?
Risposte
Il triangolo equilatero ottenuto congiungendo alcuni vertici dell'esagono non va bene ma deve essere ruotato di 30°. Una costruzione accurata può essere fatta in molti modi e te ne indico uno; mi preoccupo di ottenere la figura abituale, con le basi orizzontali e quella maggiore in basso. Disegna solo l'esagono, con due lati in orizzontale; traccia l'asse di questi due lati e poi il triangolo equilatero che ha un vertice nell'intersezione in alto fra asse e circonferenza.
Se consideri il centro O come circocentro del triangolo equilatero (dunque anche baricentro) e poi come centro dell'esagono (dunque vertice di un triangolino equilatero che ha per lato il lato dell'esagono), puoi calcolare l'altezza del trapezio, area e perimetro.
come suggerito da giammaria, ecco il disegnino
come suggerito da giammaria, ecco il disegnino
Allora ragazzi mi calcolo l'altezza del triangolo equilatero che è 3/2r ma non riesco a eliminare quel pezzo di circonferenza sopra il primo lato dell'esagono...
Altro problema che mi da grattacapi:
In un trapezio isoscele la differenza delle basi è 2cm ,la lunghezza del perimetro è (14 +10 $ sqrt(2) $ ) e il quadrato della somma dei lati obliqui supera di 4cm^2 il quadrato della somma delle basi.
1)Determinare le lunghezze dei lati e l'area del trapezio.
E qui ricavo tutto senza problemi.
2)Costruita la circonferenza circoscritta al trapezio ,determinare la distanza del centro della circonferenza dalla base maggiore e la lunghezza del raggio.
Qui iniziano i dolori:dalla mia figura noto che se conoscessi la distanza della base maggiore dal centro della circonferenza il raggio lo ricavo con Pitagora...Ho un triangolo rettangolo che chiamo AOT...Se conoscessi l'area potrei ricavarmi l'altezza OT
Ma come la trovo l'area???
3)Calcolare l'area del triangolo isoscele definito dalle rette tangenti alla circonferenza negli estremi della base minore e dalla retta su cui giace la base maggiore del trapezio.
Qui ci devo ancora arrivare...
In un trapezio isoscele la differenza delle basi è 2cm ,la lunghezza del perimetro è (14 +10 $ sqrt(2) $ ) e il quadrato della somma dei lati obliqui supera di 4cm^2 il quadrato della somma delle basi.
1)Determinare le lunghezze dei lati e l'area del trapezio.
E qui ricavo tutto senza problemi.
2)Costruita la circonferenza circoscritta al trapezio ,determinare la distanza del centro della circonferenza dalla base maggiore e la lunghezza del raggio.
Qui iniziano i dolori:dalla mia figura noto che se conoscessi la distanza della base maggiore dal centro della circonferenza il raggio lo ricavo con Pitagora...Ho un triangolo rettangolo che chiamo AOT...Se conoscessi l'area potrei ricavarmi l'altezza OT
Ma come la trovo l'area???
3)Calcolare l'area del triangolo isoscele definito dalle rette tangenti alla circonferenza negli estremi della base minore e dalla retta su cui giace la base maggiore del trapezio.
Qui ci devo ancora arrivare...
Sempre per il secondo problema voglio sapere se ho fatto bene la figura :
Per tracciare la circonferenza circoscritta al trapezio traccio gli assi dei lati del trapezio che si incontrano in un punto che è il centro della circonferenza...Praticamente il triangolo equilatero si trova sopra il centro di C.
Per tracciare la circonferenza circoscritta al trapezio traccio gli assi dei lati del trapezio che si incontrano in un punto che è il centro della circonferenza...Praticamente il triangolo equilatero si trova sopra il centro di C.
Secondo problema, domanda 2) Dimentichi che deve essere AO=OD (ABCD è il trapezio, con base maggiore AB; O è il centro della circonferenza). Per me la difficoltà nasce dal fatto che l'altezza del trapezio è un radicale doppio non spezzabile ma forse continuo a ripetere uno stesso errore; in questo caso conviene indicare con $x$ la distanza voluta e poi usare quell'altezza e due volte Pitagora (poveretto! Perché in minuscolo?) per calcolare AO e OD. Se invece ho ragione conviene impostare i calcoli in altro modo, ma sempre usando Pitagora e la formula AO=OD.
Per l'ultimo intervento: il disegno va bene ma di che triangolo equilatero stai parlando?
Per l'ultimo intervento: il disegno va bene ma di che triangolo equilatero stai parlando?
Per il triangolo equilatero mi riferisco al primo problema.
Giammaria a me l'altezza del trapezio viene 7cm ed è giusta perchè l'area mi viene corretta.Tranquillo ho visto che AO è uguale a OD.^_^
Ma come lo applichi due volte Pitagora?
Anzi avrei DUE incognite: x+y=7
Se io invece riuscissi a calcolare la diagonale del trapezio isoscele e considero il triangolo ABC applico poi la nota formula:
A=abc/4R
riesco a trovare il raggio.Solo che qui mi serve c e l'area accidenti...
Ma come lo applichi due volte Pitagora?
Anzi avrei DUE incognite: x+y=7
Se io invece riuscissi a calcolare la diagonale del trapezio isoscele e considero il triangolo ABC applico poi la nota formula:
A=abc/4R
riesco a trovare il raggio.Solo che qui mi serve c e l'area accidenti...
Per la figura del trapezio: Allora anche a te viene O interno al trapezio?Vabbè io adesso vado avanti e conservo questi esercizi...
"Marco24":
Allora ragazzi mi calcolo l'altezza del triangolo equilatero che è 3/2r ma non riesco a eliminare quel pezzo di circonferenza sopra il primo lato dell'esagono...
Se il triangolo è equilatero il circocentro è anche baricentro e perciò se ne sta ad una distanza r/2 dal piede dell'altezza.
Per il triangolo (equilatero) formato dal lato dell'esagono (base minore del trapezio) e con vertice in O (prova a disegnarlo) l'altezza vale \(\frac {r}{2} \sqrt 3\)
Dunque l'altezza del trapezio varrà:
\(\displaystyle h = \frac{r}{2} \cdot \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
Credo che, per evitare confusioni, sarebbe meglio non mettere diversi problemi nello stesso topic.
Aspetta piero che voglio ripetere un pò di definizioni per evitare lacune:
il baricentro o centro di gravità del triangolo è il punto di incontro delle tre mediane.il baricentro divide ciascuna mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra.Da qui salta fuori che la distanza del baricentro dal piede dell'altezza è r/2.
Sapendo poi che il lato dell'esagono è uguale al reggio si spiega perchè il triangolo con vertice in O e con base uguale al lato dell'esagono è equilatero.OK.
Solo per questa volta tratterò due problemi poi andremo con uno per volta.
SECONDO PROBLEMA:
Il raggio mi viene:
4,94975. Il risultato mi dice 5.Posso approssimare in eccesso? Credo di no...^__^
il baricentro o centro di gravità del triangolo è il punto di incontro delle tre mediane.il baricentro divide ciascuna mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra.Da qui salta fuori che la distanza del baricentro dal piede dell'altezza è r/2.
Sapendo poi che il lato dell'esagono è uguale al reggio si spiega perchè il triangolo con vertice in O e con base uguale al lato dell'esagono è equilatero.OK.
Solo per questa volta tratterò due problemi poi andremo con uno per volta.
SECONDO PROBLEMA:
Il raggio mi viene:
4,94975. Il risultato mi dice 5.Posso approssimare in eccesso? Credo di no...^__^
Ho trovato il mio errore: continuavo a fare 12/2=2; più stupido di così! Dal primo punto ottieni allora $AB=8, CD=6, "altezza"=7$. Per il secondo punto, detti T e S i punti medi di AB e CD, poni $OT=x$ (quindi $OS=7-x$) ed osserva i triangoli AOT e DSO. Otterrai $x=3$ e quindi $r=5$; forse hai fatto un errore simile al mio.
Giammaria ho rifatto la figura per l'ennesima volta e sono giunto alle tue stesse conclusioni per il secondo problema.Adesso sto affrontando il terzo punto e sono il alto mare...
Riporto il secondo problema per chiarezza:
Altro problema che mi da grattacapi:
In un trapezio isoscele la differenza delle basi è 2cm ,la lunghezza del perimetro è (14 +10 2√ ) e il quadrato della somma dei lati obliqui supera di 4cm^2 il quadrato della somma delle basi.
1)Determinare le lunghezze dei lati e l'area del trapezio.
E qui ricavo tutto senza problemi.
2)Costruita la circonferenza circoscritta al trapezio ,determinare la distanza del centro della circonferenza dalla base maggiore e la lunghezza del raggio.
Fatto.
3)Calcolare l'area del triangolo isoscele definito dalle rette tangenti alla circonferenza negli estremi della base minore e dalla retta su cui giace la base maggiore del trapezio.
Sono in alto mare...
Altro problema che mi da grattacapi:
In un trapezio isoscele la differenza delle basi è 2cm ,la lunghezza del perimetro è (14 +10 2√ ) e il quadrato della somma dei lati obliqui supera di 4cm^2 il quadrato della somma delle basi.
1)Determinare le lunghezze dei lati e l'area del trapezio.
E qui ricavo tutto senza problemi.
2)Costruita la circonferenza circoscritta al trapezio ,determinare la distanza del centro della circonferenza dalla base maggiore e la lunghezza del raggio.
Fatto.
3)Calcolare l'area del triangolo isoscele definito dalle rette tangenti alla circonferenza negli estremi della base minore e dalla retta su cui giace la base maggiore del trapezio.
Sono in alto mare...
Ho chiamato il triangolo isoscele del secondo problema ZYW.
Aspè che forse ho capito...
Spero di arrivare in ritardo; se non è così, ci sono molti triangoli simili a DSO, che conosci, e se Z è il punto di incontro delle tangenti puoi cominciare a calcolare ZO. Ne deduci ZT e, di nuovo con similitudini, la base del triangolo.
Ti dico come ho fatto:
Allora come ti ho detto il triangolo isoscele con i due lati uguali tangenti alla circonferenza negli estremi con la base minore lo chiamo ZYW.
Poi i triangoli DYA e CWB sono congruenti.
Applico il secondo teorema di Euclide al triangolo DOZ.Fatto ciò trovo ZS e applicando Pitagora trovo DZ.
Sposto l'attenzione sul trapezio isoscele e traccio l'altezza DH già nota.
Considero il triangolo rettangolo DYH e mi accorgo che è simile a DZS.
Quindi ricavo DY e YH.
AH è noto.Togliendo AH da YH ottengo YA. Fatto ho tutto.
Devo solo eseguire i calcoli.Vedi qualche soluzione migliore?Spero di non aver detto fesserie...
Allora come ti ho detto il triangolo isoscele con i due lati uguali tangenti alla circonferenza negli estremi con la base minore lo chiamo ZYW.
Poi i triangoli DYA e CWB sono congruenti.
Applico il secondo teorema di Euclide al triangolo DOZ.Fatto ciò trovo ZS e applicando Pitagora trovo DZ.
Sposto l'attenzione sul trapezio isoscele e traccio l'altezza DH già nota.
Considero il triangolo rettangolo DYH e mi accorgo che è simile a DZS.
Quindi ricavo DY e YH.
AH è noto.Togliendo AH da YH ottengo YA. Fatto ho tutto.
Devo solo eseguire i calcoli.Vedi qualche soluzione migliore?Spero di non aver detto fesserie...
Giammaria è tutto ok!Il terzo quesito viene.
Comunque a volte scordo qualche regola al 99% sbaglio la figura...Mi serve molto esercizio.
Comunque a volte scordo qualche regola al 99% sbaglio la figura...Mi serve molto esercizio.
l triangolo equilatero ottenuto congiungendo alcuni vertici dell'esagono non va bene ma deve essere ruotato di 30°. Una costruzione accurata può essere fatta in molti modi e te ne indico uno; mi preoccupo di ottenere la figura abituale, con le basi orizzontali e quella maggiore in basso. Disegna solo l'esagono, con due lati in orizzontale; traccia l'asse di questi due lati e poi il triangolo equilatero che ha un vertice nell'intersezione in alto fra asse e circonferenza.
Scusa mi spieghi come si ruotano le figure?Mi sa che mi devo ripassare le rotazioni.
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