Problema di probabilità
Se acquisto $a$ biglietti da una lotteria che ne mette in vendita $b$ dei quali $c$ sono vincenti, qual è la probabilità che io vinca almeno un premio? e a cosa tende la probabilità se $a=c=n$ e $b=n^2$ ?
la prima parte è abbastanza facile, per vincerne almeno uno calcolo la probabilità di non vincerne nessuno e la sottraggo a $1$ , col risultato di $P=1-(( (b-c), (a) )) / (( (b) ,(a) ))$
Per il secondo punto invece mi trovo più in difficoltà, il risultato dovrebbe essere che tende a $1-1/e$ e dunque $(( (b-c), (a) )) / (( (b) ,(a) ))$ in qualche modo deve tendere a $1/e$ con $a=c=n$ e $b=n^2$
Svolgendo i coefficienti binomiali ottengo $((n^2-n)!(n^2-n)!)/((n^2)!(n^2-2n)!)$ , ho provato a fare $lim_(n -> +oo ) ((n^2-n)!(n^2-n)!)/((n^2)!(n^2-2n)!)$ ma mi sembra troppo difficile considerando anche che l'esercizio è tratto da un libro in cui i limiti sono un argomento successivo alla probabilità, dovrebbe quindi essere risolvibile in modo molto più semplice.
la prima parte è abbastanza facile, per vincerne almeno uno calcolo la probabilità di non vincerne nessuno e la sottraggo a $1$ , col risultato di $P=1-(( (b-c), (a) )) / (( (b) ,(a) ))$
Per il secondo punto invece mi trovo più in difficoltà, il risultato dovrebbe essere che tende a $1-1/e$ e dunque $(( (b-c), (a) )) / (( (b) ,(a) ))$ in qualche modo deve tendere a $1/e$ con $a=c=n$ e $b=n^2$
Svolgendo i coefficienti binomiali ottengo $((n^2-n)!(n^2-n)!)/((n^2)!(n^2-2n)!)$ , ho provato a fare $lim_(n -> +oo ) ((n^2-n)!(n^2-n)!)/((n^2)!(n^2-2n)!)$ ma mi sembra troppo difficile considerando anche che l'esercizio è tratto da un libro in cui i limiti sono un argomento successivo alla probabilità, dovrebbe quindi essere risolvibile in modo molto più semplice.
Risposte
Se si chiede a cosa tende qualcosa ed inoltre il risultato coinvolge $e$ evidentemente si suppone che il risolutore abbia una discreta conoscenza dei limiti, anche se trattati nel capitolo successivo.
Il limite in questione si risolve col teorema del confronto. Esplicitando i fattoriali e semplificando, trovi che la probabilità può essere scritta come
$q=(n^2-n)/(n^2)*(n^2-n-1)/(n^2-1)*...*(n^2-2n+1)/(n^2-n+1)$
$q=(1-n/n^2)*(1-n/(n^2-1))*...*(1-n/(n^2-n+1))$
I fattori vanno via via diminuendo e ce ne sono $n$; osservando il primo e l'ultimo possiamo quindi dire che
$(1-n/(n^2-n+1))^n
Può darsi che ci siano metodi più rapidi ma temo di no, a parte forse l'applicazione di qualche strano teorema.
Il limite in questione si risolve col teorema del confronto. Esplicitando i fattoriali e semplificando, trovi che la probabilità può essere scritta come
$q=(n^2-n)/(n^2)*(n^2-n-1)/(n^2-1)*...*(n^2-2n+1)/(n^2-n+1)$
$q=(1-n/n^2)*(1-n/(n^2-1))*...*(1-n/(n^2-n+1))$
I fattori vanno via via diminuendo e ce ne sono $n$; osservando il primo e l'ultimo possiamo quindi dire che
$(1-n/(n^2-n+1))^n
Può darsi che ci siano metodi più rapidi ma temo di no, a parte forse l'applicazione di qualche strano teorema.
Perfetto, grazie. 
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