Problema di ottimizzazione

[daniele_mat]

Ciao a tutti,
il problema è questo: Dato il triangolo isoscele ABC di base AC=2b e lati AB=BC=a, si prenda sul lato AB il punto P tale che, condotte le parallele PM e PN rispettivamente alla base e al lato B, risulti minimo il segmento MN.
Attendo qualche risposta, intanto vi auguro una buona estate anche se il caldo di questi giorni è esagerato.

[@melia]

Ciao, attendo un minimo di sforzo da parte tua prima di aiutarti.

[daniele_mat]

Hai ragione, è che non so precisamente come procedere per ricavare la funzione richiesta. Per quanto riguarda poi la soluzione del problema di ottimo non dovrei avere problemi.
Comunque ho pensato di porre come incognita il segmento PA e poi considerare le conseguenze del teorema di Talete che mi permettono di affermare che i triangoli ABC, APN, BPM sono simili. Ho notato che il segmento MN è la diagonale del parallelogramma PMCN ma non mi sembra che possa essere un'informazione utile.
Poi sinceramente non vedo altro, se mi dai la chiave ti ringrazio molto.

[@melia]

Posso usare trigonometria, o è tabù?

[daniele_mat]

Si certo che puoi. I tabù vanno sfatati una volta per tutte. Si potrebbe ricavare il coseno dell'angolo alla base del triangolo ABC dato che cos(t)=b/a e applicare il teorema di trigonometria di Carnot al triangolo PMN una volta noti PM e PN dato che l'angolo PMN=ACB. Giusto?
E senza trigonometria si può risolvere in alternativa?

[daniele_mat]

Si ok, mi torna.
Grazie melia.

[@melia]

Ti ho chiesto se potevo usare la trigonometria perché in alcune scuole commerciali è tabù e bisogna arrangiarsi con altro.

Senza trigonometria non mi viene in mente niente di buono. Forse se facesse meno caldo il mio cervello sarebbe più attivo, ma al momento non produce.

[donald_zeka]

Io porrei $AP=x$ e quindi, mi ricaverei $MN$ con il teorema di Pitagora e un paio di propoorzioni. Notasi che questa via è equivalente al metodo trigonometrico che fa uso del teorema di Carnot, infatti uno dei tanti metodi per dimostrare quel teorema è proprio questo, e si perviene ovviamente alla stessa funzione di seconda grado da minimizzare nel vertice.