Problema di minimo
Circoscrivere ad una semicirconferenza di centro [tex]O[/tex] e diametro [tex]AB=2r[/tex] un trapezio isoscele, avente la base maggiore sulla retta [tex]AB[/tex], di perimetro [tex]2p[/tex]. Determina il trapezio di perimetro minimo e quello di area minima.
Ora, il mio libro propone di mettere [tex]CD=2x[/tex], i casi limite li ho fatti [tex]0
Mi potete illuminare ?
[mod="WiZaRd"]
Aggiunti i tag TeX per le formule.
Ricordo che dal 30-esimo messaggio l'uso del MathML o del TeX è obbligatorio per scrivere le formule.
[/mod]
Ora, il mio libro propone di mettere [tex]CD=2x[/tex], i casi limite li ho fatti [tex]0
Mi potete illuminare ?
[mod="WiZaRd"]
Aggiunti i tag TeX per le formule.
Ricordo che dal 30-esimo messaggio l'uso del MathML o del TeX è obbligatorio per scrivere le formule.
[/mod]
Risposte
Non capisco che cos'è CD.
Scusami, magari non sono stato chiaro, CD è la base minore. Forse ho trovato un modo per risolverlo, ma se mi dici come faresti tu magari trovo conferma. Grazie.
"1ac0p0":
Circoscrivere ad una semicirconferenza [...]
Dovrebbe essere inscrivere in una semicirconferenza, giusto?
Della mia soluzione, scrivo solo la parte iniziale e qualche cenno del seguito; il resto lo lascio fare a te. Ho posto $C \hatO D=2 alpha$; tracciata poi la perpendicolare da O al lato obliquo, ho notato che anche un altro angolo vale $alpha$. Usando poi i teoremi (trigonometrici) sui triangoli rettangoli ho calcolato il perimetro in funzione di $r$ e $alpha$; alla fine si passa ad $x$ con la relazione $x=rtg alpha$. Ho trovato che il perimetro è $4x+(2r^2)/x$.
I calcoli possono essere abbreviati usando il teorema (poco noto ma facilmente dimostrabile) che dice che il lato obliquo è la metà della base maggiore.
Tu che modo hai usato?
@a.dematteis: i miei calcoli si riferiscono a "circoscrivere"
I calcoli possono essere abbreviati usando il teorema (poco noto ma facilmente dimostrabile) che dice che il lato obliquo è la metà della base maggiore.
Tu che modo hai usato?
@a.dematteis: i miei calcoli si riferiscono a "circoscrivere"
Innanzitutto grazie per le risposte.
@a.dematteis: il testo parla di un trapezio circoscritto ad una semicirconferenza.
@giammaria: ho capito la tua soluzione, l'unico problema è che non ho ancora fatto nulla di trigonometria, dato che è argomento di quest'anno. Del teorema del lato obliquo metà della base maggiore ero a conoscenza, ma non riesco a ricavare la base maggiore in funzione di x.
Si giunge alla soluzione ponendo che $ (r)^(2) $ + $ (b)^(2) $ = 2(b)(B) dove "r" sta per raggio, "b" per base minore, "B" per base maggiore.
Solo che non so da dove si tiri fuori questa equazione.
Idee?
@a.dematteis: il testo parla di un trapezio circoscritto ad una semicirconferenza.
@giammaria: ho capito la tua soluzione, l'unico problema è che non ho ancora fatto nulla di trigonometria, dato che è argomento di quest'anno. Del teorema del lato obliquo metà della base maggiore ero a conoscenza, ma non riesco a ricavare la base maggiore in funzione di x.
Si giunge alla soluzione ponendo che $ (r)^(2) $ + $ (b)^(2) $ = 2(b)(B) dove "r" sta per raggio, "b" per base minore, "B" per base maggiore.
Solo che non so da dove si tiri fuori questa equazione.
Idee?
Per ora, l'unica mezza idea che mi viene è prolungare la figura dall'altra parte del diametro ed ottenere un trapezio circoscritto ad una circonferenza; non so però se serve davvero.
Se si vuole evitare sia la trigonometria che l'uso del teorema che citi (e che non conoscevo affatto: dove l'hai trovato?) ma si conosce il teorema sul lato obliquo, si può fare così: indicato con $y$ il lato obliquo, si esprimono in funzione di $y$ sia il perimetro che $x$; dall'ultima formula si ricava $y$ in funzione di $x$ e lo si sostituisce nella formula del perimetro. Non ho provato a fare i calcoli, ma in teoria funziona.
Se si vuole evitare sia la trigonometria che l'uso del teorema che citi (e che non conoscevo affatto: dove l'hai trovato?) ma si conosce il teorema sul lato obliquo, si può fare così: indicato con $y$ il lato obliquo, si esprimono in funzione di $y$ sia il perimetro che $x$; dall'ultima formula si ricava $y$ in funzione di $x$ e lo si sostituisce nella formula del perimetro. Non ho provato a fare i calcoli, ma in teoria funziona.
Non so se sia possibile postare link a siti esterni, nel caso chiedo venia, comunque quella formula l'ho trovata qui dove è indicato TRAPEZIO ISOSCELE
http://www.gobnf.com/formule/default.as ... 10160LKBP1
ma non capisco da dove l'abbiano tirata fuori....Se hai qualche idea fammi sapere...
Proverò con l'ultima soluzione da te indicata intanto, grazie.
http://www.gobnf.com/formule/default.as ... 10160LKBP1
ma non capisco da dove l'abbiano tirata fuori....Se hai qualche idea fammi sapere...
Proverò con l'ultima soluzione da te indicata intanto, grazie.
Eureka!
Nomenclatura: il trapezio è A'B'CD, T è il punto di tangenza col lato obliquo B'C, S è il punto medio di OC.
Il triangolo COT è rettangolo, quindi la mediana TS è la metà dell'ipotenusa OC: ne consegue che il triangolo CST è isoscele. CST è quindi simile a OB'C in quanto triangoli isosceli con un angolo alla base in comune e ne consegue
$OB':SC=OC:CT$
da cui, essendo tutto il resto immediatamente calcolabile, ricavi OB' e risolvi il problema.
Se poi scrivi la proporzione nella forma $OB'*CT=1/2*OC^2$ e indichi con $b$ e $B$ le semibasi (non le basi) ottieni proprio il tuo teorema.
Nomenclatura: il trapezio è A'B'CD, T è il punto di tangenza col lato obliquo B'C, S è il punto medio di OC.
Il triangolo COT è rettangolo, quindi la mediana TS è la metà dell'ipotenusa OC: ne consegue che il triangolo CST è isoscele. CST è quindi simile a OB'C in quanto triangoli isosceli con un angolo alla base in comune e ne consegue
$OB':SC=OC:CT$
da cui, essendo tutto il resto immediatamente calcolabile, ricavi OB' e risolvi il problema.
Se poi scrivi la proporzione nella forma $OB'*CT=1/2*OC^2$ e indichi con $b$ e $B$ le semibasi (non le basi) ottieni proprio il tuo teorema.
Risolto! Non era quello che si può definire un problema immediato...
Decisamente no. Toglimi una curiosità: usi come titolo "Problema di minimo", ma se non hai ancora studiato la trigonometria, probabilmente non conosci né l'analisi né lo studio delle coniche ruotate. Con quale metodo trovi il minimo?
Facciamo problemi di minimo che in genere hanno come risultato una funzione riconducibile a parabole, iperboli, ellissi, circonferenze,... ed individuiamo il minimo graficamente con tangenti, secanti ecc. ecc. Essendo in 4^ superiore di un liceo scientifico la trigonometria dovrebbe essere programma di quest'anno. il mio problema principale è che l'anno scorso ho avuto una pessima insegnante perchè prima sono sempre andato benissimo e non ho mai avuto problemi nel far matematica...
Comunque sei stato gentilissimo, grazie per la tua disponibilità.
Comunque sei stato gentilissimo, grazie per la tua disponibilità.
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