Problema di minimo

[gabriello47]

Fra tutti i triangoli isosceli di perimetro $2p$ circoscritti a una circonferenza di raggio $r$, trova quello in cui $b+h=min$.
Il problema appare abbastanza semplice nell'impostazione, ma i calcoli mi sembrano troppo complicati, dato che la soluzione va trovata in funzione del solo parametro $r$.
Qualche genio mi può illuminare?

[Steven11]

Due alternative.


i)Geometria sintetica: considera il triangolo $ABC$ di base $BC$, traccia l'altezza relativa alla base e prolungala fino a farla intersecare con la circonferenza in un punto $P$.
Considera il triangolo $APB$, che risulta rettangolo in $B$ e applica il secondo teorema di Euclide in modo opportuno.

ii)Consideriamo l'angolo non alla base e poniamolo uguale a $2x$
Usa il teorema della corda per ricavarti la base in funzione di $x$.
Ma a questo punto puoi considerare metà triangolo isoscele (il nuovo triangolo risulta rettangolo) e applicare i teoremi sui triangoli rettangoli per ricavare $h$ sfruttando $x$ e $b$


Ciao

[gabriello47]

steven, il triangolo è circoscritto alla circonferenza. Mi pare che i tuoi suggerimenti si riferiscano a triangolo inscritto.

[Steven11]

"gabriello47":steven, il triangolo è circoscritto alla circonferenza. Mi pare che i tuoi suggerimenti si riferiscano a triangolo inscritto.

Cavolo, hai ragione.
Vabbè, almeno sai cosa fare quando ti daranno il caso della circonferenza circoscritta
Adesso non ho tempo per pensare a una soluzione semplice che al momento non mi viene in mente, perdonami.

[gabriello47]

"Steven":
considera il triangolo $ABC$ di base $BC$, traccia l'altezza relativa alla base e prolungala fino a farla intersecare con la circonferenza in un punto $P$.
Considera il triangolo $APB$, che risulta rettangolo in $B$ e applica il secondo teorema di Euclide in modo opportuno.
Ciao

ciao Steven. Ho guardato il caso del triangolo inscritto e mi pare più semplice applicare pitagora al triangolo $OBH$, essendo $O$ il centro e $H$ il piede dell'altezza. Detta $x$ metà base del triangolo, l'altezza può essere espressa in funzione di $x$ ed $r$:

$h=sqrt(r^2-x^2) +r$

Così il problema si riduce a calcolare il minimo della funzione

$y=2x +r +sqrt(r^2-x^2)$ che ottengo ponendo $y'=0$ che alla condizione 0 $x=(2/sqrt5)r$

comunque grazie e buona caccia

[Steven11]

Quello che hai trovato tu a me pare tanto il massimo, non il minimo...

[Sk_Anonymous]

Io farei così:
La funzione da rendere minina è $b\ +\ h\ =\ minimo$. D'altra parte la base (b) è certamente $2rtg\alpha$, essendo l'area del triangolo $S=\ 1/2*b*h = (p*r)$ per un qualunque triangolo circoscritto, è $h\ = (2(p)(r))/(2rtg\alpha) =\ p/(tg\ alpha)$; la funzione da rendere minima è, quindi: $2rtg(alpha)\ +\ p/(tg\ alpha)\ = \ f(x)$, da cui $f'(x)\ =\ (2r)/(cos^2alpha)\ -\ p/(sen^2alpha)$. Perché tale derivata sia zero deve essere $tg^2\ alpha\ =\ p/(2r)$, ovvero $tgalpha = sqrt(p/(2r))$ da cui $alpha\ =\ arctg\ sqrt(p/(2r))$

[Steven11]

"IvanTerr":
La funzione da rendere minina è $b\ +\ h\ =\ 0$.

Perché scusa uguale a zero?

Comunque ti stai riferendo al caso di triangolo inscritto o circoscritto?