Problema di minimo

[thunder2410]

Salve, mi aiutereste a capire come svolgere il seguente esercizio:

Sia ABC un triangolo isoscele di base \(\displaystyle AB = 6a \), con i lati obliqui di \(\displaystyle 3a\sqrt{5} \).
Determina il punto P sull'altezza CH del triangolo relativa ad AB, per cui la somma delle distanze di P dai tre vertici è minima.

Premetto che non sono mai stato un asso nei problemi di massimo e di minimo, ho provato a ragionare sul problema pensando anche di lavorare su uno dei due triangoli rettangoli che escono dalla divisione di quello isoscele ma nulla.

Grazie

[anto_zoolander]

Considerando metà triangolo isoscele, hai provato ponendo come variabile l'angolo acuto che si forma considerando le ipotenuse $AP$ o $BP$?

[axpgn]

Senza scomodare gli angoli, l'altezza $CH$ è conosciuta e chiamando $x=CP$, il resto dell'altezza è $h-x$ da cui ottieni le altre due distanze $AP$ e $BP$ con Pitagora: $AP^2=((AB)/2)^2+(h-x)^2$.
La somma dei tre pezzi che devi minimizzare è un'espressione in $x$, che derivi e uguagli a zero ...

Cordialmente, Alex

[thunder2410]

"anto_zoolander":Considerando metà triangolo isoscele, hai provato ponendo come variabile l'angolo acuto che si forma considerando le ipotenuse $ AP $ o $ BP $?

non avevo provato con gli angoli, pensavo si potesse fare in altro modo

"axpgn":Senza scomodare gli angoli, l'altezza $ CH $ è conosciuta e chiamando $ x=CP $, il resto dell'altezza è $ h-x $ da cui ottieni le altre due distanze $ AP $ e $ BP $ con Pitagora: $ AP^2=((AB)/2)^2+(h-x)^2 $.
La somma dei tre pezzi che devi minimizzare è un'espressione in $ x $, che derivi e uguagli a zero ...
Cordialmente, Alex

$ CH $ non è conosciuta la potrei calcolare facendo $ (Area * 2 )/ (AB) $ ma penso che mi manchino i dati necessari lo stesso lavorando sul triangolo rettangolo, mi sbaglio?

[@melia]

Puoi risolvere il problema con la trigonometria o con Pitagora, ma il secondo è assai più semplice.
Per prima cosa calcoli $bar(CH)=6a$ con Pitagora nel triangolo rettangolo ACH, poi posto $bar(PH)=x$ e, di conseguenza $bar(CP)=6a-x$. Per $bar(AP)=bar(BP)$ basta Pitagora, $bar(CP)$ già ce l'hai. Non dimenticare le condizioni su $x$:
$0<=x<=6a$

Ho visto la soluzione di axpgn, lascio anche la mia, perché, risolvendo il problema, ho scoperto che ha il calcolo finale più semplice.

[axpgn]

@Thunder
Ovvio che per conosciuta intendevo calcolabile (cosa già fatta da @melia) ...

@amelia
Non è lo stesso? A parte aver invertito il nome dei due pezzi dell'altezza ...

[anto_zoolander]

"axpgn":Senza scomodare gli angoli

che sei lagnuso



@Thunder

con gli angoli volendo non è difficile, però è divertente(con un criterio molto soggettivo per la definizione di divertimento).
Comincia consideranto $hat{PAH}=x$ e ragiona su metà triangolo isoscele[nota]il parametro $a$ qualora dovesse essere $0$ restituirebbe la banale somma $S=0$[/nota].

puoi procedere in questa maniera:
intanto le limitazioni geometriche sono date dall'angolo. Chiamato $alpha=hat{CAH}$ sapendo che $tanalpha=((CH)/(AH))=(6a)/(3a)=2$ si ottiene $alpha=arctan(2)$

dunque la limitazione è $x inRR:0leqxleqarctan(2)$

ora basta trovare le tre lunghezze $CP,AP,BP$ che ci servono per costruire la funzione.

$APcos(x)=3a$ ovvero $AP=(3a)/cosx$

$CH=6a$ e $PH=3atanx$

$CP=CH-PH=6a-3atanx$

infine sommi tutto quanto ottenuto per trovare la funzione somma sapendo che $APcongBP$

$S(x)=CP+AP+BP=CP+2AP=6a-3atanx+(6a)/cosx$

$S'(x)=(6asinx-3a)/cos^2x$

si ottiene facilmente che deve essere $x=pi/6$

puoi considerare qualsiasi cosa come variabile, poi alla fine il risultato verrà sempre lo stesso. O quantomeno, tutti i valori saranno comunque tutti collegati tra di loro. Bello no?

[@melia]

"axpgn":@Thunder
@amelia
Non è lo stesso? A parte aver invertito il nome dei due pezzi dell'altezza ...

Esattamente!
Solo che nel caso che hai messo tu viene un'equazione di secondo grado con soluzione accettabile $a(6-sqrt3)$ che credo abbia un discrimente peggiore di quella che ho proposto io, la cui soluzione è $asqrt3$.
Avevo messo la tua stessa variabile, poi ho fatto due conti e ho cambiato.

[axpgn]

Io avevo messo come variabile uno dei pezzi da trovare (mi sembrava più logico) poi mi sono accorto che sotto radice ci finiva l'altro ... ... però dato che la risoluzione non era particolarmente complicata, non ho provato l'altra ...