Problema di maturità!!

[moon]

ciao ragazzi non riesco a risolvere questo problema mi potete aiutare?

Data la funzione f(x)=(1+x^2)/x^2
1)Trovare F(x) primitiva di f(x) tale che F(1)=f(1).
2)Ricavare le curve y=f(x) e y=F(x) e le equazioni delle tangenti nei loro punti comuni.
3)Calcolare l'area finita delimitata da f(x), F(x) e x=-2

E' un problema di maturità scientifica del 1988

[ciampax]

Ti risolvo il primo punto: il secondo è lo studio di funzioni che, spero, credi dovresti riuscire a fare da solo.

Per il terzo oi ne parliamo.

1) devi calcolare

[math]F(x)=\int f(x)\ dx+c[/math]

con la condizione

[math]F(1)=f(1)=2[/math]

Allora

[math]F(x)=\int\frac{1+x^2}{x^2}\ dx=\int\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\ dx=x-\frac{1}{x}+c[/math]

e quindi

[math]2=F(1)=1-1+c=c[/math]

Ne segue che

[math]F(x)=x-\frac{1}{x}+2[/math]

Ora prova a fare il resto e poi se ne riparla.

[moon]

per il secondo punto devo mettere a sisteme f(x) e F(x)per trovare i punti i comuni?

grazie...

[adry105]

Si, esatto.. In questo modo trovi i punti comuni.. Dopo devi trovare le tangenti in quei punti =)

[moon]

la derivata prima di f(x) è 2/x e la derivata di F(x)?

[aleio1]

la derivata prima di f(x) è -2/x^3
e poi come fai a chiederti la derivata di F(x)???

[math]\int{f'(x)} = f(x)[/math]

[adry105]

Visto che i punti sono in comune e anche le tangenti per quei punti sono in comune, se il tuo intento era quello di calcolarti le tangenti sfruttando la derivata prima, ti basta avere la derivata prima di una delle due funzione, sostituire il punto nella derivata prima e così da ottenere il coef. angolare della tangente nel punto alla funzione..

In un certo senso l'integrale è l'operazione inversa alla derivata; come la divisione è l'operazione inversa alla moltiplicazione...

Se trovi la primitiva di una funzione in poche parole significa trovare quella funzione la cui derivata prima è la funzione che hai...

Quindi se la tua funzione è x-1/x+2 e la derivata prima è (1+x^2)/x^2:

Basta sostituire il punto alla seconda funzione per trovarti il tuo m! =)

[moon]

allora io ho trovato come punti comuni x=1 e x=-1
quindi f'(x)=1+x^2/x^2
f'(1)=2 e f'(-1)=2
m=2 giusto?
le due rette tangenti saranno
y=2x+4 e y=2x

[adry105]

Hai le soluzione del problema?...


m=2 dovrebbe essere giusta, ma le rette come le hai trovate?.. Hai m, ti devi scrivere il fascio di rette generico passante per il punto x=1 e y=?... Devi trovarti la y!

Sai che il punto x=1 passa per la funzione x-1/x+2 (se è un punto di tangenza ci passa!) sostituosci 1 e trovi la y.. Adesso puoi scrivere il fascio di rette generico e inserire m=2 e trovarti le tangenti...

[moon]

no le soluzioni non le ho infatti non so se sto procedendo bene!!
dovrebbe essere y=2

[adry105]

Si stai procedendo benissimo =9 Non fare esercizi di cui non hai le soluzioni!

Adesso trovati le tangenti

[moon]

come si risolve il terzo punto?

[adry105]

Devi disegnare le due funzione f(x), F(x), disegnare la retta x=-2; vedere quale è l'area finita compresa tra questi 3 grafici e trovarla con l'integrale!

[moon]

come si disegnano le 2 funzioni

[adry105]

Uhm devi studiare le funzioni, intersezioni con gli assi, segno, asintoti, derivata prima e seconda uhm... Ti dice niente?