Problema di matematica

[AvrilBoi]

E' dato il trapezio ABCD rettangolo in A e in D, avente le basi AB e CD e l'altezza AD rispettivamente uguali a 5a, 4a, 2a. Se con P si denota un punto interno al trapezio, di cui H e K sono le proiezioni ortogonali su BC e su AD, si trovi P in modo che siano soddisfatte le due condizioni:
PH:PK=AD:BC
(AP)^2 + (DP)^2 = k(a)^2
essendo k un numero positivo dato.

Una soluzione per 12

[ciampax]

Il mod più semplice, mi sembra sia quello di ragionare con la geometria analitica.

Se supponiamo che il trapezio ha il vertice A coincidente con l'orignie degli assi, segue che le coordinate dei punti sono

[math]A(0,0), B(5a,0), C(4a,2a), D(0,2a)[/math]

In paritoclare, risulta pure

[math]BC=\sqrt{(5a-4a)^2+(0-2a)^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=\sqrt{5} a[/math]

Indichiamo ora con

[math]P(x_p,y_p)[/math]

le coordinate del punto P. Le coordinate del punto K sono allora

[math]K(0,y_p)[/math]

. Quindi

[math]PK=x_p[/math]

Per trovare PH, basta calcolare la distanza di P da BC. Visto che il coefficiente angolare della retta BC è

[math]m=\frac{0-2a}{5a-4a}=-2[/math]

segue che la retta BC è

[math]y=-2(x-5a)\Rightarrow 2x+y-10a=0[/math]

e quindi la distanza è

[math]PH=\frac{|2x_p+y_p-10a|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|2x_p+y_p-10a|}{\sqrt{5}}[/math]

Ma visto che il punto P è all'interno del trapezio, segue che l'argomento del valore assoluto è sempre negativo, e quindi

[math]PH=\frac{10a-2x_p-y_p}{\sqrt{5}}[/math]

Inoltre

[math]AP^2=(x_p-0)^2+(y_p-0)^2=x_p^2+y_p^2[/math]

[math]DP^2=(x_p-0)^2+(y_p-2a)^2=x_p^2+y_p^2-4ay_p+4a^2[/math]

Ne segue che le condizioni per P sono

[math]\frac{-2x_p-y_p+10a}{x_p}=2\Rightarrow -2x_p-y_p+10a=2x_p[/math]

[math]2x_p^2+2y_p^2-4ay_p+4a^4=ka^2[/math]

La prima equazione diventa

[math]4x_p+y_p=10a\Rightarrow x_p=\frac{10a-y_p}{4}[/math]

che sostituito nella seconda conduce a (dopo un po' di conti)

[math]17y_p^2-52ay_p+4(33-2k)a^2=0[/math]

Ora, tale equazione ammette almeno una soluzione, se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. Poiché

[math]\Delta=8a^2(17K-196)\geq 0\Rightarrow k\geq\frac{196}{17}[/math]

Ricaviamo allora il valore

[math]y_p=\frac{52a\pm 2a\sqrt{34k-392}}{34}=\frac{26\pm 2\sqrt{34k-392}}{17}a[/math]

Inoltre, dato che il punto si trova all'interno del trapezio, deve essere

[math]0\leq y_p\leq 2a[/math]

, da cui

[math]0\leq 13\pm\sqrt{34k-392}\leq 17[/math]

Ora se abbiamo

[math]0\leq 13+\sqrt{34k-392}\leq 17\Rightarrow -13\leq\sqrt{34k-392}\leq 4[/math]

e quindi

[math]34k-392\leq 16\Rightarrow k\leq 12[/math]

Mentre se

[math]0\leq 13-\sqrt{34k-392}\leq 17\Rightarrow -13\leq-\sqrt{34k-392}\leq4[/math]

da cui

[math]\sqrt{34k-392}\leq 13\Rightarrow 34k-392\leq 169\Rightarrow k\leq 33/2[/math]

Ovviamente, nel primo caso, visto che entrambe le soluzioni sono accettabili, si hanno due soluzioni, per

[math]196/17\leq k\leq 12[/math]

mentre nell'altro caso, non essendo accettabile la soluzione con il meno (la radice diventa più grande di 13) si avrà un unica soluzione per [math]12< k