Problema di matematica!!!!

[cricetinamcp]

determinare l'equazione delle due circonferenze passanti per l'origine di un sistema di assi cartesiani, tangenti in O alla retta di coefficiente angolare -2 ed aventi per diametro un segmento di lunghezza 2radial5. verifica la simmetria rispetto ad O delle due circonferenze trovate e scrivi l'equazione del fascio da esse generato. considerata quindi la circonferenza (delle due trovate), il cui centro ha coordinate positive, sia A la corda AC parallela ad AB, calcola il perimetro e l'area del trapezio convesso OBAC di circonferenze aventi come punti base A e B. please mi serve subito!!!

[BIT5]

Tutte le rette di coefficiente angolare -2 sono della forma

y=-2x+q

in particolare quella passante per O (se O e' il punto di tangenza, sia le circonferenze che la retta passeranno per O) e' y=-2x

Di tutte le circonferenze

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

quelle che passano per O, hanno le coordinate del punto (0,0) che soddisfa l'equazione, quindi

[math] 0^2+0^2+0a+0b+c=0 \to c=0 [/math]

[math] x^2+y^2+ax+by=0 [/math]

Inoltre, sappiamo che il raggio di una circonferenza e' perpendicolare alla tangente, pertanto sappiamo che il centro di entrambe le circonferenze stara' sulla perpendicolare alla retta y=-2 e passante per il punto di tangenza (0,0)

la perpendicolare ha coefficiente

[math] - \frac{1}{-2} = \frac12 [/math]

e passa per l'origine degli assi

La perpendicolare sara' dunque

[math] y= \frac12 x [/math]

i due punti giacenti sulla retta y=1/2x e distanti radice5 dal punto di tangenza (raggio) sono i centri delle due circonferenze.

I punti della retta sono tutti della forma

[math] P(x_P, \frac12 x_P) [/math]

e devono essere distanti dall'origine radice 5

la distanza tra due punti si trova come

[math] d= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} [/math]

(teorema di Pitagora)

pertanto

[math] \sqrt5 = \sqrt{(0-x_P)^2+ \(0- \frac12 x_P)^2} = \sqrt{x_P^2+ \frac14x_P^2} = \sqrt{\frac54 x_P^2} [/math]

elevando al quadrato

[math] 5= \frac54 x_P^2 \to 1= \frac14 x_P^2 \to x_P^2=4 \to x_P= \pm 2 [/math]

e quindi la y del punto sara' 1/2x quindi

[math] C_1 (2,1) \\ \\ \\ C_2=(-2,-1) [/math]

sapendo che le coordinate del centro di una circonferenza sono

[math] C \( - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2} \) [/math]

per il primo centro avremo

[math] - \frac{a}{2} = 2 \to a=-4 \\ \\ \\ - \frac{b}{2} = 1 \to b=-2 [/math]

mentre per il secondo centro analogamente a=4 b=2

le due circonferenze saranno

[math] x^2+y^2-4x-2y=0 [/math]

e

[math] x^2+y^2+4x+2=0 [/math]

Il fascio sara'

[math] x^2+y^2-4x-2y+k(x^2+y^2+4x+2) = 0 \to \\ \\ \\ \to x^2+y^2-4x-2y+kx^2+ky^2+4kx+2ky=0 [/math]

e quindi raccogliendo per incognita e potenza

[math] (1+k)x^2 + (1+k)y^2 -4(1-k)x-2(1-k)y=0 [/math]

Aggiunto 8 minuti più tardi:

" sia A la corda AC parallela ad AB "

ma che significa?