Problema di Matematica (25765)

[Shalan]

allora il Mio prof mi ha dato un esercizio della SESSIONE SUPPLETIVA 1990...
sono due o tre giorni che ci sbatto la testa ma non lo riesco a fare...
ecco la traccia:

Data la semicirconferenza di diametro AB=2 con centro O e raggio OT perpendicolare ad AB, da un generico punto H di AB tracciare la perpendicolare ad AB fino ad intersecare la semicirconferenza in P e da P il segmento PK, con K appartenente al segmento OT, tale che l'angolo KPO sia uguale all'angolo OPH.
Indicata con x la lunghezza del segmento OH, determinare la lunghezza y del segmento OK in funzione di x.
Studiare l'andamento della funzione

vorrei sapere almeno il procedimento... o se qualcuno riesce a farlo mi fa capire come si fa...

[the.track]

Ho trovato un sistema anche se è un po' macchinoso te lo posto ugualmente. Magari puoi trarne spunto.

Cominciamo con alcune considerazioni:
La circonferenza ha raggio pari ad uno e ponendola su un piano cartesiano con centro all'origine degli assi abbiamo la circonferenza goniometrica. Ora allo scopo di essere chiari pongo l'angolo HOP=

[math]\alpha[/math]

A questo punto in evidenza troviamo che:

[math]x=cos\alpha[/math]

Di conseguenza abbiamo che:

[math]PH=sin\alpha[/math]

oppure più semplicemente:

[math]PH=1-x^2[/math]

Ora direi di calcolare l'angolo OPH:

[math]OPH=\frac{\pi}{2}-\alpha[/math]

Ora sapendo che OPH=OPK direi di trovare la retta passante per PK sfruttando la tangente (coefficiente angolare della retta) di

[math]-\frac{\pi}{2}-2OPH[/math]

e conoscendo le coordinate di P. Una volta trovata la retta troviamo l'intersezione con x=0 (retta su cui giace OT) trovando così le coordinate di OK.

Complicato ma dovrebbe funzionare. Se hai dubbi sul ragionamento chiedi pure.

[Shalan]

PH= 1-x^2 l'hai trovato con il teorema di euclide giusto?

cmq se ho capito bene trovando le coordinate posso avere la lunghezza y gisutamente..
però quando dice poi di studiare la funzione ... quale funzione devo fare?

cmq ora svolgo l'esercizio.. se esce ti faccio sapere.. se no abbiamo sbagliato

[the.track]

Basta che tu usi Pitagora. Il raggio OP=1 perciò:

[math]PH=\sqrt{1^2-x^2}[/math]

Quindi scusa ma 1-x^2 è PH^2. L'idea è quella :lol

[ciampax]

Track, io ho una soluzione molto più furba! :)

Osservate la figura: è facile vedere, dal teorema di Pitagora, che

[math]PH=\sqr{OP^2-OH^2}=\sqrt{1-x^2}[/math]

D'altra parte si consideri il triangolo PKO: esso ha l'angolo in K uguale ad

[math]\alpha[/math]

e coincide con l'angolo

[math]O\widehat{P}H[/math]

. D'altra parte abbiamo che l'angolo

[math]H\widehat{O}P=\pi/2-\alpha[/math]

e quindi

[math]K\widehat{O}P=\alpha[/math]

. Ma allora il triangolo OKP è isoscele sulla base OP=1 ed i suoi lati sono

[math]OK=PK=y[/math]

A questo punto, tracciando l'altezza KR di questo triangolo, si ha la seguente similitudine tra i triangoli PHO e PKR:

[math]PH/PR=PO/PK[/math]

ma essendo PO=1 (il raggio), PR=1/2 (poiché l'altezza relativa alla base in un triangolo isoscele è anche mediana, asse e bisettrice) si ha pure

[math]\sqrt{1-x^2}{(1/2)}=1/y\Longrightarrow y=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}[/math]

Lo studio di funzione poi è semplice!

[Shalan]

perchè l'angolo in K è uguale ad ALFA?
a me esce 2ALFA


scusate...l'angolo in P del triangolo OPK è 90°-ALFA
l'angolo in O è uguale.
quindi l'angolo in K sarà uguale a 180°- (90°-ALFA +90°-ALFA) = 2ALFA
o sbaglio?

[the.track]

Ciampax non metto in dubbio il to procedimento però anche a me risulta

[math]2\alpha[/math]

.
Noi abbiamo che

[math]AOP=\alpha[/math]

[math]APO=90-\alpha[/math]

Abbiamo

[math]OPK=90-\alpha[/math]

[math]POK=90-\alpha[/math]

[math]PKO=180-(90-\alpha)-(90-\alpha)=2\alpha[/math]

Sbagliamo da qualche parte??

[Shalan]

ci sto sbattendo la testa in tutti i modi... ma acneh se consideri il quadrilatero... esce sempre 2 ALFA

[ciampax]

L'angolo in K è uguale a

[math]\pi-2\alpha[/math]

.Tu sbagli perché

[math]AOP=\pi/2-\alpha[/math]

visto che

[math]OPH=\alpha[/math]

. Infatti se prendi gli angoli del triangolo OHP hai che

[math]OHP=\pi/2[/math]

e quindi

[math]\pi/2=OPH+POH=\alpha+AOP[/math]

.

Chiaro adesso? Ma lo avete visto il disegno poi? I due angoli uguali sono

[math]HPO=OPK=\alpha[/math]

.

[Shalan]

ancora non ho capito...
perchè l'angolo in K ora dici che è 90-2ALFA?

[ciampax]

[math]\pi=180[/math]

!!!!

[math]PKO=\pi-2\alpha[/math]

. Oh, più spiegato di come ho fatto prima non si può!

[the.track]

ok! Adesso ho capito. Il procedimento per trovare l'angolo è chiarissimo. L'unica cosa è che abbiamo considerato

[math]\alpha[/math]

angolo diversi. Tu hai considerato

[math]\alpha[/math]

l'angolo OPH (angolo in P); io invece ho considerato

[math]\alpha[/math]

l'angolo AOP (angolo in O).
Credo che il disguido sia stato questo.

[ciampax]

Fa lo stesso. Basta intendersi. Però allora i due angoli uguali devono misurare entrambi

[math]\pi/2-\alpha[/math]

, ti pare?

[the.track]

Certamente. su questo non ci piove. Comunque era giusto ciò che pensavo solo che non ci eravamo capiti. A questo punto l'unico che deve capire è Shalan. :)

[ciampax]

Infatti!

[Shalan]

:himi ci sono messo e l'ho capito... Grazie a tutti...
ora mi faccio la bella funzione...

[the.track]

Bene! Se hai dubbi su quella chiedi pure ;)

Al massimo impegnerai ciampax in un'altra spiegazione :lol
Buon lavoro!

[Shalan]

XD ashuahsuashu...
bè ora ci provo subito...
cmq alla fine non era tanto difficile...
mmm... grazie dell'aiuto...
se ho bisogno ci sentiamo dopo...