Problema di massimo (senza derivate)
Esercizio di fine biennio liceo scientifico:
La soluzione è `a=b=c` (che pare intuibile...certo...l'ho letta
)
Ma qual'è il procedimento/i per giungere a questo risultato?
Oppure, quali considerazioni bisogna fare?
Grazie a chi volesse darmi una mano.
"Se `a,b,c`sono tre numeri reali positivi variabili,la cui somma `s=a+b+c` resta costante,trovare per quali valori di `a,b,c` l'espressione `ab+bc+ca` assume valore massimo."
La soluzione è `a=b=c` (che pare intuibile...certo...l'ho letta
)Ma qual'è il procedimento/i per giungere a questo risultato?
Oppure, quali considerazioni bisogna fare?
Grazie a chi volesse darmi una mano.
Risposte
Un modo è questo, anche se non so quanto sia adatto per un biennio.
E' noto per la disuguaglianza di Weitzenböck che in ogni triangolo di lati $a,b,c$ e area $\Lambda$ accade che $a^2 + b^2 + c^2 >=4\sqrt{3} \Lambda$, con il segno di uguale sse il triangolo è equilatero. Dato che $ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2}$, la quantità $ab+bc+ac$ è massima quando è minima la quantità $a^2+b^2+c^2$. Per la disuguaglianza citata si ha la tesi.
E' noto per la disuguaglianza di Weitzenböck che in ogni triangolo di lati $a,b,c$ e area $\Lambda$ accade che $a^2 + b^2 + c^2 >=4\sqrt{3} \Lambda$, con il segno di uguale sse il triangolo è equilatero. Dato che $ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2}$, la quantità $ab+bc+ac$ è massima quando è minima la quantità $a^2+b^2+c^2$. Per la disuguaglianza citata si ha la tesi.
Grazie Wizard...ci medito un po su 
Ho dimenticato di aggiungere, ma mi pare ovvio, che quella soluzione vale se si prendono $a,b,c$ che rispettano la disuguaglianza triangolare.
Senza ricorrere a Weitzenbock (mi si perdoni la mancanza dei due puntini sopra la "o"), uso la più comune disuguaglanza tra le medie.
Come già scritto da Wizard, vale
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
cioè
$ab+ac+bc=frac{(a+b+c)^2}{2}-frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ cioè
$ab+ac+bc=frac{s^2}{2}-frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
Ma la quantità $a^2+b^2+c^2$ è direttamente legata alla media quadratica (quando ha il minimo una, ce l'ha pure l'altra) di questi tre valori a,b,c, che vale
$(frac{a^2+b^2+c^2}{3})^(1/2)$
e che ha notoriamente il minimo se $a=b=c$.
Questo si può provare sapendo che vale la disuguaglianza tra media quadratica e aritmetica, cioè
$(frac{a^2+b^2+c^2}{3})^(1/2)>=frac{a+b+c}{3}$ (vale l'ugualgianza quando $a=b=c$, e ivi la media quadratica ha minimo).
E' sempre utile sapere le disuguaglianze tra le 4 media principali (lo raccomando a vanpic):
$"media armonica"<="media geometrica"<= "media aritmetica"<= "media quadratica"$
Come già scritto da Wizard, vale
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
cioè
$ab+ac+bc=frac{(a+b+c)^2}{2}-frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ cioè
$ab+ac+bc=frac{s^2}{2}-frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
Ma la quantità $a^2+b^2+c^2$ è direttamente legata alla media quadratica (quando ha il minimo una, ce l'ha pure l'altra) di questi tre valori a,b,c, che vale
$(frac{a^2+b^2+c^2}{3})^(1/2)$
e che ha notoriamente il minimo se $a=b=c$.
Questo si può provare sapendo che vale la disuguaglianza tra media quadratica e aritmetica, cioè
$(frac{a^2+b^2+c^2}{3})^(1/2)>=frac{a+b+c}{3}$ (vale l'ugualgianza quando $a=b=c$, e ivi la media quadratica ha minimo).
E' sempre utile sapere le disuguaglianze tra le 4 media principali (lo raccomando a vanpic):
$"media armonica"<="media geometrica"<= "media aritmetica"<= "media quadratica"$
E inoltre la soluzione di Steven risolve il problema nel caso generale, la mia solo in un caso particolare.
Grazie Steven...questa relazione fra le medie non la conoscevo.
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