Problema di massimo e minimo triangolo rettangolo
Ciao a tutti, ho problemi con questo problema:
Sia triangolo rettangolo $ABC$ con ipotenusa $BC$, in cui il cateto $AB$ misura 6 e il cateto $AC$ misura 8.
Sia $P$ un punto sul lato $AB$ la cui distanza da $B$ è uguale a $x$.
Considerato un punto $Q$ sull'ipotenusa $CB$, determina la distanza di $Q$ da $B$ in modo che l'area del triangolo $PQB$ sia uguale a $4$.
Visto che $PQ=x$ ed è la base del triangolo $PQB$, semplicemente per trovare l'altezza di questo triangolo ho sfruttato l'area e trovo $h=(A*2)/b$, $h=8/x$.
Detto questo per trovare $PB$ sfrutto il teorema di pitagora e $QB$ $=$ $sqrt((8/x)^2+(x/2)^2$.....non ci siamo proprio il risultato $QB=10/x$
Non capisco cosa non va.
Grazie mille
Sia triangolo rettangolo $ABC$ con ipotenusa $BC$, in cui il cateto $AB$ misura 6 e il cateto $AC$ misura 8.
Sia $P$ un punto sul lato $AB$ la cui distanza da $B$ è uguale a $x$.
Considerato un punto $Q$ sull'ipotenusa $CB$, determina la distanza di $Q$ da $B$ in modo che l'area del triangolo $PQB$ sia uguale a $4$.
Visto che $PQ=x$ ed è la base del triangolo $PQB$, semplicemente per trovare l'altezza di questo triangolo ho sfruttato l'area e trovo $h=(A*2)/b$, $h=8/x$.
Detto questo per trovare $PB$ sfrutto il teorema di pitagora e $QB$ $=$ $sqrt((8/x)^2+(x/2)^2$.....non ci siamo proprio il risultato $QB=10/x$
Non capisco cosa non va.
Grazie mille
Risposte
L'ipotenusa $BC = 10$. La distanza di $P$ da $BC$ (punto $H$) per la similitudine fra ABC e HBP è $4/5x$
L'area del triangolo BPQ è data da $1/2 4/5 x * BQ = 4 -> BQ = 10/x$
L'area del triangolo BPQ è data da $1/2 4/5 x * BQ = 4 -> BQ = 10/x$
Ok risolto....grazie mille!
La seconda parte del problema invece dice che $Q$ sia il punto che soddisfa la condizione espressa nel punto a, indicando con $M$ il punto medio del cateto $AC$ e determina x in modo che l'area del triangolo $PQM$ sia minima.
In questa domanda ho difficoltà a capire da che parte partire. Non riesco a capire cosa indicare come incognita.
Grazie mille
In questa domanda ho difficoltà a capire da che parte partire. Non riesco a capire cosa indicare come incognita.
Grazie mille
L'incognita è la x di prima, BP.
Se disegni la figura, vedi che il triangolo PQM si ottiene da ABC togliendogli:
BPQ, che ha area 4
PAM, che ha area 1/2PA*AM = 4(6-x)
MQC che ha area 1/2 MC * QH, se H è il piede della perpendicolare calata da Q su AC
Siccome il triangolo HQC è simile a ABC, allora QH = 6/10 QC = 6/10 (10 - 10/x)
Il massimo di PQM corrisponde al minimo di BPQ + PAM + MQC, ecc...
(a me risulta $x = sqrt(3/2)$)
Se disegni la figura, vedi che il triangolo PQM si ottiene da ABC togliendogli:
BPQ, che ha area 4
PAM, che ha area 1/2PA*AM = 4(6-x)
MQC che ha area 1/2 MC * QH, se H è il piede della perpendicolare calata da Q su AC
Siccome il triangolo HQC è simile a ABC, allora QH = 6/10 QC = 6/10 (10 - 10/x)
Il massimo di PQM corrisponde al minimo di BPQ + PAM + MQC, ecc...
(a me risulta $x = sqrt(3/2)$)
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