Problema di massimo e minimo triangolo isoscele
Considera un triangolo equilatero ABC di lato l. Fra i rettangoli inscritti nel triangolo aventi un lato sulla base AB, determina:
-quello di area massima.
-quello di diagonale minima.
Allora, mi sembra di non avere fatto passaggi errati ma a quanto pare qualcosa non va perchè non ho lo stesso risultato del libro
1- Ho considerato il triangolo $EDC$ sopra il rettangolo inscritto ed è un triangolo simile ad $ABC$.
$((ED)/(AB))$ $=$ $((CK)/(CH))$, con $CK=h-x$ dove
$h$ altezza di $ABC$, e $(h-x)$ altezza di $ECD$, trovo $ED$ $=$ $(h-x)/h$ $*$ $l$.
e la funzione Area $A(x)$ $=$ $l$ $*$ $x$ $*$ $(h-x)/h$, calcolo $h$ con Pitagora che risulta $h$ $=$ $l/2$ $*$ $sqrt(3)$.
La derivata $A'(x)$ $=$ $(3l-4sqrt(3)*x)/3$
Mi esce un minimo in $x=sqrt(3)*l/4$
Purtroppo non va bene. Ho sbagliato la derivata?
GRAZIE A TUTTI!
Risposte
Io ho preso come variabile x il lato del triangolo che resta sopra.
Poi, se noti che i due pezzi tratteggiati, uniti insieme, formano un altro triangolo equilatero, di lato $l-x$, si vede che l'area del rettangolo è data dal triangolo grande, di lato $l$, meno i due triangoli di lati $x$ e $l-x$.
Quindi il massimo per il rettangolo equivale al minimo dei due triangoli piccoli.
Questi hanno area
$1/2sqrt(3)x^2$ e $1/2sqrt(3)(l-x)^2$, il minimo si ha quindi quando è minimo il valore di
$x^2 + (l-x)^2 = 2x^2 - 2lx + l^2$ la cui derivata, $4x - 2l$ si azzera per $x = l/2$
Che corrisponde alla tua soluzione, tenendo conto che la tua x è l'altezza del rettangolo e non la larghezza come qui.
Come dovrebbe essere la soluzione? Non è che, appunto, si parla di x diverse?
Poi, se noti che i due pezzi tratteggiati, uniti insieme, formano un altro triangolo equilatero, di lato $l-x$, si vede che l'area del rettangolo è data dal triangolo grande, di lato $l$, meno i due triangoli di lati $x$ e $l-x$.
Quindi il massimo per il rettangolo equivale al minimo dei due triangoli piccoli.
Questi hanno area
$1/2sqrt(3)x^2$ e $1/2sqrt(3)(l-x)^2$, il minimo si ha quindi quando è minimo il valore di
$x^2 + (l-x)^2 = 2x^2 - 2lx + l^2$ la cui derivata, $4x - 2l$ si azzera per $x = l/2$
Che corrisponde alla tua soluzione, tenendo conto che la tua x è l'altezza del rettangolo e non la larghezza come qui.
Come dovrebbe essere la soluzione? Non è che, appunto, si parla di x diverse?
Ciao, ah è un'altra misura....il risultato del libro dice che: indicata con x la misura del lato del rettangolo su AB. Io con x ho indicato l'altezza del rettangolo.
Ora confronto i risultati e proseguo con la parte della diagonale.
Grazie!!!
Ora confronto i risultati e proseguo con la parte della diagonale.
Grazie!!!
Eccomi nuovamente...con il problema sulla diagonale.
Allora sono partita tenendo per buono:
lato minore del rettangolo $ED$ $=$ $(h-x/h)*l$ da cui sappiamo che $h$ $=$ $l*sqrt(3)/2$ e sostituendo tutto trovo che
$ED$ $=$ $l-(2*x*sqrt(3)/3)$.
Fatto questo sfrutto semplicemente il teorema di pitagora e trovo che la diagonale
$DK$ $=$ $sqrt(l^2+x^2+4/3*x^2*(1+sqrt(3)*l)$
E' la strada giusta?Visto che ho nuovamente problemi con una derivata pessima.
grazie mille
Allora sono partita tenendo per buono:
lato minore del rettangolo $ED$ $=$ $(h-x/h)*l$ da cui sappiamo che $h$ $=$ $l*sqrt(3)/2$ e sostituendo tutto trovo che
$ED$ $=$ $l-(2*x*sqrt(3)/3)$.
Fatto questo sfrutto semplicemente il teorema di pitagora e trovo che la diagonale
$DK$ $=$ $sqrt(l^2+x^2+4/3*x^2*(1+sqrt(3)*l)$
E' la strada giusta?Visto che ho nuovamente problemi con una derivata pessima.
grazie mille
Se $x$ è il lato orizzontale, il lato verticale è $sqrt(3)/2(l - x)$
Il quadrato della diagonale è $x^2 + 3/4(l^2 + x^2 - 2lx) = 7/4x^2 -3/2lx + 3/4l^2$,
la sua derivata $7/2x -3/2l$ che si azzera per $x = 3/7l$
Il quadrato della diagonale è $x^2 + 3/4(l^2 + x^2 - 2lx) = 7/4x^2 -3/2lx + 3/4l^2$,
la sua derivata $7/2x -3/2l$ che si azzera per $x = 3/7l$
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