Problema di massimo e minimo (geometria analitica)
ciao! potreste darmi una mano con questo problema? grazie a tutti!
nell' insieme dei triangoli isosceli inscritti in un cerchio di raggio r, determina quello la cui somma dell' altezza AH e della base BC è massima.
nell' insieme dei triangoli isosceli inscritti in un cerchio di raggio r, determina quello la cui somma dell' altezza AH e della base BC è massima.
Risposte
Provo a risolvere, anche se credo ci saranno degli errori. Pongo [tex]x=AH[/tex] con[tex]0\leq{x}\leq2r[/tex]. Chiamo O il centro della circonferenza => [tex]OH=\left | x-r \right |[/tex], per il teorema di pitagora ricaviamo che
[tex]BC= 2BH= 2\cdot\sqrt{r^2-(x-r)^2}}=2\cdot\sqrt{2rx-x^2}[/tex].
Massimizzo la funzione di x: [tex]f(x)=x+2\cdot\sqrt{2rx-x^2}[/tex], la deriviamo [tex]f(x)=\dfrac{\sqrt{2rx-x^2}+2r-2x}{\sqrt{2rx-x^2}}[/tex], che si annulla solamente se [tex]\sqrt{2rx-x^2}=2r-2x=>\left\{\begin{matrix}5x^2-10rx+4r^2=0 \\r\leq{x}\leq2r\end{matrix}\right[/tex] Adesso ricavo l'unica soluzione, corrispondente al punto di un massimo relativo=>
[tex]x=r\left(1+\dfrac{\sqrt5}{5} \right)[/tex], ditemi se è giusto.
[tex]BC= 2BH= 2\cdot\sqrt{r^2-(x-r)^2}}=2\cdot\sqrt{2rx-x^2}[/tex].
Massimizzo la funzione di x: [tex]f(x)=x+2\cdot\sqrt{2rx-x^2}[/tex], la deriviamo [tex]f(x)=\dfrac{\sqrt{2rx-x^2}+2r-2x}{\sqrt{2rx-x^2}}[/tex], che si annulla solamente se [tex]\sqrt{2rx-x^2}=2r-2x=>\left\{\begin{matrix}5x^2-10rx+4r^2=0 \\r\leq{x}\leq2r\end{matrix}\right[/tex] Adesso ricavo l'unica soluzione, corrispondente al punto di un massimo relativo=>
[tex]x=r\left(1+\dfrac{\sqrt5}{5} \right)[/tex], ditemi se è giusto.
giustissimo!! ti ringrazio!! 
Di nulla! 
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