PROBLEMA DI MASSIMO e MINIMO
Il problema è il seguente:
data una circonferenza di raggio $r$ si consideri una corda $AB$ che dista $r/2$ dal centro della circonferenza. Considerato un punto P sul minore dei due archi $AB$ si trovi il massimo della somma 2AP+3PB
Ho posto l’angolo PAB=x ottenendo alla fine la funzione $f(x)= 2AP+3PB=4rsin(120-x)+6rsin(x)$ con $0
Per trovare il massimo di questa funzione la devo cercare di porre nella forma $f(x)=asin(…)+b$ oppure equivalentemente $f(x)=acos(…)+b$ con a e b numeri contenenti eventualmente il raggio r. Per fare questo nei problemi che ho risolto di questo tipo bastava utilizzare le formule di addizione del seno o coseno e quelle di prostaferesi.Ora però non riesco ad utilizzarle perché ho quel 4r e 6r davanti,pur mettendo in evidenza e svolgendo quel $sin(120-x)$ non mi porta a niente.
data una circonferenza di raggio $r$ si consideri una corda $AB$ che dista $r/2$ dal centro della circonferenza. Considerato un punto P sul minore dei due archi $AB$ si trovi il massimo della somma 2AP+3PB
Ho posto l’angolo PAB=x ottenendo alla fine la funzione $f(x)= 2AP+3PB=4rsin(120-x)+6rsin(x)$ con $0
Per trovare il massimo di questa funzione la devo cercare di porre nella forma $f(x)=asin(…)+b$ oppure equivalentemente $f(x)=acos(…)+b$ con a e b numeri contenenti eventualmente il raggio r. Per fare questo nei problemi che ho risolto di questo tipo bastava utilizzare le formule di addizione del seno o coseno e quelle di prostaferesi.Ora però non riesco ad utilizzarle perché ho quel 4r e 6r davanti,pur mettendo in evidenza e svolgendo quel $sin(120-x)$ non mi porta a niente.
Risposte
Se P si muove sul minore dei due archi AB allora $hat(APB)=120°$, quindi l'angolo $hat(ABP)=180°-120°-x=60°-x$ quindi con $0<=x<=60°$
$f(x)=4r sin(60°-x) +6r sinx= 2r (sqrt3 cos x +2 sin x)=2/sqrt7 r ((sqrt3)/(sqrt7) cos x +2/(sqrt7) sin x)= =2/sqrt7 r sin (arcsin sqrt(3/7)-x)$
$f(x)=4r sin(60°-x) +6r sinx= 2r (sqrt3 cos x +2 sin x)=2/sqrt7 r ((sqrt3)/(sqrt7) cos x +2/(sqrt7) sin x)= =2/sqrt7 r sin (arcsin sqrt(3/7)-x)$
Il primo errore che ho fatto l'ho capito: siccome $sinAPB=sqrt(3)/2$ allora APB=60° oppure 120°. E' di 120° perchè insiste sull'arco maggiore( io invece ho fatto i calcoli con APB=60° 
).
Dopo la messa in evidenza di $2r$ (nell'ultimo rigo) però non mi trovo con i tuoi calcoli successivi....................
).Dopo la messa in evidenza di $2r$ (nell'ultimo rigo) però non mi trovo con i tuoi calcoli successivi....................
Credo di aver capito che non volevi utilizzare le derivate per trovare il punto di massimo
Allora ho usato una regoletta che trovi anche nel tuo libro di testo e permette di risolvere le equazioni omogenee di primo grado, per capirci quelle del tipo
$a sinx + b cosx=0$ divido tutto per $sqrt(a^2 +b^2)$ a questo punto $a/(sqrt(a^2 +b^2))$ e $b/(sqrt(a^2 +b^2))$ sono rispettivamente il coseno e il seno di un angolo $alpha$, per cui l'equazione diventa $cosalpha sinx + cosx sin alpha=0$ e utilizzando le formule del seno di una somma diventano $sin (x+ alpha)=0$
Allora ho usato una regoletta che trovi anche nel tuo libro di testo e permette di risolvere le equazioni omogenee di primo grado, per capirci quelle del tipo
$a sinx + b cosx=0$ divido tutto per $sqrt(a^2 +b^2)$ a questo punto $a/(sqrt(a^2 +b^2))$ e $b/(sqrt(a^2 +b^2))$ sono rispettivamente il coseno e il seno di un angolo $alpha$, per cui l'equazione diventa $cosalpha sinx + cosx sin alpha=0$ e utilizzando le formule del seno di una somma diventano $sin (x+ alpha)=0$
Avevo capito che hai utilizzato tale regola, mi sembra però che devi mettere in evidenza $sqrt(7)$ e non $1/sqrt(7)$. Inoltre siccome hai utilizzato la regola di addizione del seno dovrebbe starci un + fra gli angoli. In conclusione l'angolo x che mi dà il massimo è $x=90-arcsin(sqrt(3/7))$(in modo da ottenere$sin90$) che soddisfa la condizione sulla x. Quindi la somma massima è $2rsqrt(7)$ come dice il risultato del libro.
Purtroppo non avevo applicato quella regola perchè non mi dava un angolo specifico e mi faceva uscire l'arcoseno. Invece come ho visto è l'unico modo di arrivare alla soluzione. Grazie per l'aiuto
Purtroppo non avevo applicato quella regola perchè non mi dava un angolo specifico e mi faceva uscire l'arcoseno. Invece come ho visto è l'unico modo di arrivare alla soluzione. Grazie per l'aiuto
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