Problema di massimo e minimo
Salve! E da un po' che il mio prof lascia problemi più complicati del solito comunque ecco quello che mi ha dato problemi un pomeriggio sano:
È dato un triangolo equilatero ABC il cui lato misura 1. Da un punto D interno ad AC traccia la parallela ad AB che interseca in E il lato CB. Detto M il punto medio di AB, determina il punto D in modo che l'area del triangolo DEM sia massima.
Soluzione ( D deve essere il punto medio di AC)
Ho provato diversi modi scriverò solo l'ultimo.
Ho costruito un diagramma cartesiano e ho fatto coincidere il punto A con l'origine.
Così ho potuto intercettare i punti $ A $ , $ B(1;0) $ , $ C(1/2; sqrt3 /2) $ , $ D(x;y) $ , $ E(1-x; y) $ , perché il triangolo equilatero è una figura simettrica, e $ H( 1/2; y) $ .
Dopo ho calcolato DE = $ 1-2x $ e MH = $ y $ . $ rArr A= y(1-2x)/2 $ .
Ora negli altri esercizi precedenti io riuscivo a trovare delle equazioni del tipo $ A= x(1/2x-1) $ trasformavo in funzione e trovavo una parabola $ y=1/2 x^2-x $ dove trovare massimo o minimo come vertice della parabola. Qui invece o trovato 2 incognite: x e y. La mia teoria è quindi di trovare un modo per farne spuntare solo 1 così da creare la parabola.
Comunque ho anche calcolato l'area totale del triangolo ABC e poi ho sottratto ad essa le aree dei triangolini AMD, BME, DEC. Ma il risultato è sempre un equazione a 2 incognite...
Comunque spero di essere stato chiaro, se vi ho fatto confondere leggete solo il problema e dimenticate ciò che ho fatto!
Grazie in anticipo!
È dato un triangolo equilatero ABC il cui lato misura 1. Da un punto D interno ad AC traccia la parallela ad AB che interseca in E il lato CB. Detto M il punto medio di AB, determina il punto D in modo che l'area del triangolo DEM sia massima.
Soluzione ( D deve essere il punto medio di AC)
Ho provato diversi modi scriverò solo l'ultimo.
Ho costruito un diagramma cartesiano e ho fatto coincidere il punto A con l'origine.
Così ho potuto intercettare i punti $ A $ , $ B(1;0) $ , $ C(1/2; sqrt3 /2) $ , $ D(x;y) $ , $ E(1-x; y) $ , perché il triangolo equilatero è una figura simettrica, e $ H( 1/2; y) $ .
Dopo ho calcolato DE = $ 1-2x $ e MH = $ y $ . $ rArr A= y(1-2x)/2 $ .
Ora negli altri esercizi precedenti io riuscivo a trovare delle equazioni del tipo $ A= x(1/2x-1) $ trasformavo in funzione e trovavo una parabola $ y=1/2 x^2-x $ dove trovare massimo o minimo come vertice della parabola. Qui invece o trovato 2 incognite: x e y. La mia teoria è quindi di trovare un modo per farne spuntare solo 1 così da creare la parabola.
Comunque ho anche calcolato l'area totale del triangolo ABC e poi ho sottratto ad essa le aree dei triangolini AMD, BME, DEC. Ma il risultato è sempre un equazione a 2 incognite...
Comunque spero di essere stato chiaro, se vi ho fatto confondere leggete solo il problema e dimenticate ciò che ho fatto!
Grazie in anticipo!
Risposte
Trovi due incognite perché non tieni conto che $D$ sta su $AC$ e quindi $y=xsqrt3$.
C'è una soluzione molto più semplice, tenendo conto del fatto che anche $CDE$ è equilatero; posto $CD=DE=x$ si ha
$MH=CM-CH=sqrt3/2-sqrt3/2 x=sqrt3/2(1-x)$
$S="area di "DEM=1/2*x*sqrt3/2(1-x)=sqrt3/4(x-x^2)$
e completi rapidamente.
C'è una soluzione molto più semplice, tenendo conto del fatto che anche $CDE$ è equilatero; posto $CD=DE=x$ si ha
$MH=CM-CH=sqrt3/2-sqrt3/2 x=sqrt3/2(1-x)$
$S="area di "DEM=1/2*x*sqrt3/2(1-x)=sqrt3/4(x-x^2)$
e completi rapidamente.
Grazie mille! E si! Mi sono proprio complicato la vita con il mio metodo, tanto da dimenticarmi che D stava su AC... -.- Grazie ancora 
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