Problema di massimo e minimo

Themirhaccio
Testo:

tra tutti i triangoli isosceli di area costante $ 1/2*a^2 $ determinare quello per cui risulta minimo il raggio del cerchio circoscritto.

Pongo ABC il triangolo isoscele di base BC e chiamo H la proiezione di A sulla base. A questo punto scrivo

$ 1/2 AH*2BH = 1/2*a^2 $ e quindi posto $ AH = x $ ho che $ BH = a^2/(2x) $. Calcolo poi il lato obliquo del triangolo isoscele AB col teorema di pitagora tra AH e BH ottenendo come risultato:

$ AB = sqrt(4x^4+a^4)/(2x) $

A questo punto il teorema della corda mi dice che $ AB $ è anche uguale a $ 2rsinalpha $ e quindi uguagliando le espressioni ho

$ r(x) = sqrt(4x^4+a^4)/ (4x^2 sinalpha) $ funzione da minimizzare.

Considerando che $ alpha $ è l'angolo alla base del triangolo isoscele ho $ tanalpha = (AH)/(BH) $ e quindi $ tanalpha = (2x^2)/(a^2) $.

Trasformando la tangente in $ sinalpha $ grazie alla formula $ sinalpha = tanalpha / sqrt((1+(tanalpha)^2) $ = $ (2x^2)/ sqrt (4x^4+a^4) $

Ho che $ r(x) = (4x^4 + a^4) / (8x^4) $. Questa è la mia funzione da minimizzzare (secondo il mio ragionamento) Purtroppo alla fine di tutto ciò facendo la derivata della funzione e ponendola = 0 ho:

$ r'(x) = -1/2*( a^4/x^5) = 0 $ che non si annulla mai. (impossibile!)

il risultato non torna, dovrebbe essere il raggio della circonferenza che iscrive il triangolo equilatero. Dove sbaglio???

grazie!

Risposte
Zero87
"Themirhaccio":
$ AB = sqrt(4x^4+a^4)/(2x) $

A questo punto il teorema della corda mi dice che $ AB $ è anche uguale a $ 2rsinalpha $ e quindi uguagliando le espressioni ho

$ r(x) = sqrt(4x^4+a^4)/ (4x^2 sinalpha) $ funzione da minimizzare.

Bada che potrei prendere una cantonata, ma non mi riporta l'$x^2$ al denominatore.

Cioè, eguagliare le due espressioni differenti per $AB$
$2r sin(\alpha) = sqrt(4x^4+a^4)/(2x)$

$r=sqrt(4x^4+a^4)/(4x sin (\alpha)$...

Themirhaccio
Ed infatti hai ragione...che scemo va a capire che mi ha detto la testa mah! rifacendo così l'esercizio la funzione da minimizzare risulta:

$ r(x) = (4x^4+a^4)/(8x^3) $

la cui derivata = 0 (opportunamente semplificata) è pari a

$ x^2( 4x^4-3a^4) $

che ha due soluzioni

$ x = 0 $
$ x = root(4)((3) / (4)) a $

tralasciando poi tutto il ragionamento sui massimi e minimi limiti vari della funzione dove non è definita bla bla, sostituendo nelle espressioni di $ AB $ e $ BH $ il valore di x così trovato ho

$ AB $ = $ 2BH $ = $ BC $

quindi triangolo equilatero

PER I POSTERI, grazie mille ZERO87

Zero87
"Themirhaccio":
PER I POSTERI, grazie mille ZERO87

In genere gli errori di calcolo li faccio, non li correggo! :-D

Prego!

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