Problema di massimo e minimo
Testo:
tra tutti i triangoli isosceli di area costante $ 1/2*a^2 $ determinare quello per cui risulta minimo il raggio del cerchio circoscritto.
Pongo ABC il triangolo isoscele di base BC e chiamo H la proiezione di A sulla base. A questo punto scrivo
$ 1/2 AH*2BH = 1/2*a^2 $ e quindi posto $ AH = x $ ho che $ BH = a^2/(2x) $. Calcolo poi il lato obliquo del triangolo isoscele AB col teorema di pitagora tra AH e BH ottenendo come risultato:
$ AB = sqrt(4x^4+a^4)/(2x) $
A questo punto il teorema della corda mi dice che $ AB $ è anche uguale a $ 2rsinalpha $ e quindi uguagliando le espressioni ho
$ r(x) = sqrt(4x^4+a^4)/ (4x^2 sinalpha) $ funzione da minimizzare.
Considerando che $ alpha $ è l'angolo alla base del triangolo isoscele ho $ tanalpha = (AH)/(BH) $ e quindi $ tanalpha = (2x^2)/(a^2) $.
Trasformando la tangente in $ sinalpha $ grazie alla formula $ sinalpha = tanalpha / sqrt((1+(tanalpha)^2) $ = $ (2x^2)/ sqrt (4x^4+a^4) $
Ho che $ r(x) = (4x^4 + a^4) / (8x^4) $. Questa è la mia funzione da minimizzzare (secondo il mio ragionamento) Purtroppo alla fine di tutto ciò facendo la derivata della funzione e ponendola = 0 ho:
$ r'(x) = -1/2*( a^4/x^5) = 0 $ che non si annulla mai. (impossibile!)
il risultato non torna, dovrebbe essere il raggio della circonferenza che iscrive il triangolo equilatero. Dove sbaglio???
grazie!
tra tutti i triangoli isosceli di area costante $ 1/2*a^2 $ determinare quello per cui risulta minimo il raggio del cerchio circoscritto.
Pongo ABC il triangolo isoscele di base BC e chiamo H la proiezione di A sulla base. A questo punto scrivo
$ 1/2 AH*2BH = 1/2*a^2 $ e quindi posto $ AH = x $ ho che $ BH = a^2/(2x) $. Calcolo poi il lato obliquo del triangolo isoscele AB col teorema di pitagora tra AH e BH ottenendo come risultato:
$ AB = sqrt(4x^4+a^4)/(2x) $
A questo punto il teorema della corda mi dice che $ AB $ è anche uguale a $ 2rsinalpha $ e quindi uguagliando le espressioni ho
$ r(x) = sqrt(4x^4+a^4)/ (4x^2 sinalpha) $ funzione da minimizzare.
Considerando che $ alpha $ è l'angolo alla base del triangolo isoscele ho $ tanalpha = (AH)/(BH) $ e quindi $ tanalpha = (2x^2)/(a^2) $.
Trasformando la tangente in $ sinalpha $ grazie alla formula $ sinalpha = tanalpha / sqrt((1+(tanalpha)^2) $ = $ (2x^2)/ sqrt (4x^4+a^4) $
Ho che $ r(x) = (4x^4 + a^4) / (8x^4) $. Questa è la mia funzione da minimizzzare (secondo il mio ragionamento) Purtroppo alla fine di tutto ciò facendo la derivata della funzione e ponendola = 0 ho:
$ r'(x) = -1/2*( a^4/x^5) = 0 $ che non si annulla mai. (impossibile!)
il risultato non torna, dovrebbe essere il raggio della circonferenza che iscrive il triangolo equilatero. Dove sbaglio???
grazie!
Risposte
"Themirhaccio":
$ AB = sqrt(4x^4+a^4)/(2x) $
A questo punto il teorema della corda mi dice che $ AB $ è anche uguale a $ 2rsinalpha $ e quindi uguagliando le espressioni ho
$ r(x) = sqrt(4x^4+a^4)/ (4x^2 sinalpha) $ funzione da minimizzare.
Bada che potrei prendere una cantonata, ma non mi riporta l'$x^2$ al denominatore.
Cioè, eguagliare le due espressioni differenti per $AB$
$2r sin(\alpha) = sqrt(4x^4+a^4)/(2x)$
dà
$r=sqrt(4x^4+a^4)/(4x sin (\alpha)$...
Ed infatti hai ragione...che scemo va a capire che mi ha detto la testa mah! rifacendo così l'esercizio la funzione da minimizzare risulta:
$ r(x) = (4x^4+a^4)/(8x^3) $
la cui derivata = 0 (opportunamente semplificata) è pari a
$ x^2( 4x^4-3a^4) $
che ha due soluzioni
$ x = 0 $
$ x = root(4)((3) / (4)) a $
tralasciando poi tutto il ragionamento sui massimi e minimi limiti vari della funzione dove non è definita bla bla, sostituendo nelle espressioni di $ AB $ e $ BH $ il valore di x così trovato ho
$ AB $ = $ 2BH $ = $ BC $
quindi triangolo equilatero
PER I POSTERI, grazie mille ZERO87
$ r(x) = (4x^4+a^4)/(8x^3) $
la cui derivata = 0 (opportunamente semplificata) è pari a
$ x^2( 4x^4-3a^4) $
che ha due soluzioni
$ x = 0 $
$ x = root(4)((3) / (4)) a $
tralasciando poi tutto il ragionamento sui massimi e minimi limiti vari della funzione dove non è definita bla bla, sostituendo nelle espressioni di $ AB $ e $ BH $ il valore di x così trovato ho
$ AB $ = $ 2BH $ = $ BC $
quindi triangolo equilatero
PER I POSTERI, grazie mille ZERO87
"Themirhaccio":
PER I POSTERI, grazie mille ZERO87
In genere gli errori di calcolo li faccio, non li correggo!
Prego!
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