Problema di massimo con la trigonometria
Dovrei risolvere : In una semicirconferenza di diametro AB =2r si coduca la corda AC. Detto D il punto medio dell'arco BC, si determini la posizione della corda in modo che l'area del quadrilatero ACDB sia massima. Il risultato è : area massima uguale $3sqrt3 r^2/4), ho trovato come funzione da massimizzare senx cosx+senx che non riesco a massimizzare. Grazie
Risposte
Non si capisce niente del tuo messaggio 
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Ti do un indizio: hai considerato che, essendo D il punto medio dell'arco e dunque della corda BC, il raggio DO è perpendicolare alla corda BC? (teorema di geometria elementare)
Paola
.Ti do un indizio: hai considerato che, essendo D il punto medio dell'arco e dunque della corda BC, il raggio DO è perpendicolare alla corda BC? (teorema di geometria elementare)
Paola
Si, certo e poi ?
Mi viene sen2x + senx da massimizzare, un modo l'ho trovato ma non sono sicura che vada bene.....
no ho detto cose sbagliate non so andare avanti.....
Chiamiamo $H$ il punto di incontro tra la corda $BC$ e il raggio $DO$. Sia inoltre $x=\hat{A B C}$.
Per il teorema della corda, $CA = 2r senx, CB=2r cos x$. Dato che $DO$ è perpendicolare a $CB$, il triangolo $BOH$ è simile ad $ABC$ con rapporto di similitudine $1/2$, perciò $OH=(CA)/2 = r senx$; allora $DH=r-r senx$.
Dunque l'area del quadrilatero $ABCD$ sarà:
$1/2 2r cosx (r-rsenx) +1/2 2rsenx 2rcosx = r^2 (cosx(1-senx) + 2senx cosx)= r^2 (cosx+senxcosx)$
Per massimizzare, fai la derivata a ponila uguale a 0.
Paola
Per il teorema della corda, $CA = 2r senx, CB=2r cos x$. Dato che $DO$ è perpendicolare a $CB$, il triangolo $BOH$ è simile ad $ABC$ con rapporto di similitudine $1/2$, perciò $OH=(CA)/2 = r senx$; allora $DH=r-r senx$.
Dunque l'area del quadrilatero $ABCD$ sarà:
$1/2 2r cosx (r-rsenx) +1/2 2rsenx 2rcosx = r^2 (cosx(1-senx) + 2senx cosx)= r^2 (cosx+senxcosx)$
Per massimizzare, fai la derivata a ponila uguale a 0.
Paola
Il triangolo $ABD$ è rettangolo, in quanto inscritto in una semicirconferenza
Se poni $BhatAD=DhatAC=x$ trovi facilmente $DB=CD$ ed anche $AD$
per trovare poi l'area di $ACD$ ti serve $AC$, che puoi trovare congiungendo $C$ con $B$ e considerando quindi il triangolo rettangolo $ABC$
Se poni $BhatAD=DhatAC=x$ trovi facilmente $DB=CD$ ed anche $AD$
per trovare poi l'area di $ACD$ ti serve $AC$, che puoi trovare congiungendo $C$ con $B$ e considerando quindi il triangolo rettangolo $ABC$
Scusa Nicole, perché $B\hat A D= D\hat A C$?
Paola
Paola
se non ho frainteso il testo, dovrebbero essere angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti
Sì hai ragione, non l'avevo visto sul mio disegno.
Grazie!
Paola
Grazie!
Paola
prego!
Non posso usare la derivata
Ho scritto senx cosx+senx come 1/2( sen2x) + 1/2(senx) +1/2(senx) , il terzo addendo è massimo se x è uguale a 90 e quindi non accettabile, con prostaferesi i primi due termini danno sen3x/2 cosx/2 in cui si ha massimo per sen3x/2 =1, cioè x uguale 60°, cosa ve ne pare?
Ho trovato area uguale a $ r^2(senxcosx + senx) $ da massimizzare, in cui senxcosx + senx l'ho scritta 1/2(sen2x) +1/2(senx)+ 1/2(senx), l'ultimo addendo sarebbe massimo se x uguale 90°, non accettabile, mentre i primi due , per prostaferesi sono uguali a (sen3x/2)(cosx/2) in cui il massimo si ha per x uguale a 60°, cosa ve ne pare?
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