Problema di massimo

[_rocco_13]

Salve a tutti, ho provato a risolvere questo problema: "Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in un cerchio di raggio che misura r, determina quello di area massima". Ho disegnato un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza e ho ipotizzato che l'altezza di questo triangolo sia il raggio più un certo numero x. Ho collegato il centro della circonferenza agli altri due vertici del triangolo e osservando la figura mi è apparso un triangolo rettangolo con un cateto x(sarebbe la parte più bassa dell'altezza) e ipotenusa che è il raggio. Ragionando così ho trovato la base e ho imposto la mia funzione: $y=sqrt(r^2-x^2)*(r+x)$
Poi ho derivato la funzione arrivando a $(r+x)/sqrt(1/2*r^2-1/2*x^2)+sqrt(r^2-x^2)$
Imponendo la derivata maggiore di zero abbiamo che la derivata è maggiore di zero quando $r+x>0$
Però non mi trovo col risultato. Sbaglio a procedere o a calcolare la derivata? Grazie mille per eventuali risposte

[giammaria2]

Il procedimento è giusto, la derivata no. Si ha
$y'=(-x(r+x))/(\sqrt(r^2-x^2))+ \sqrt(r^2-x^2)=...=(-2x^2-rx+r^2)/(\sqrt(r^2-x^2))$

[_rocco_13]

Ma la derivata di quella funzione è fare la derivata di un prodotto? (Derivata del primo fattore per secondo fattore + primo fattore per derivata del secondo fattore)

[giammaria2]

Hai applicato bene questa regola ma hai sbagliato nel calcolare la derivata di $sqrt(r^2-x^2)$. La funzione più esterna è la radice e quella interna un polinomio. quindi la sua derivata è
$1/(2sqrt(r^2-x^2))*(-2x)$

[_rocco_13]

Sì, è una funzione composta e l'ho calcolata proprio così. Poi l'ho moltiplicata per $(r+x)$ e a questo ho sommato $sqrt(r^2+x^2)$. Mi pare strano che non mi esca la stessa cosa

[giammaria2]

Osserva il tuo primo intervento: c'è la somma di cui parli e nel primo addendo (cioè la frazione) si vede il prodotto per $(r+x)$; quello che resta però non assomiglia neanche al mio ultimo risultato. Dov'è la $x$ che dovrebbe esserci a numeratore? E come ha fatto il 2 a finire sotto radice?