Problema di massimo

[mathos2000]

Salve,
<>
Per questo quesito mi servirebbe semplicemente la discussione che lega il raggio al triangolo isoscele iscritto, permettendomi di avere la funzione obiettivo da derivare (che intanto è la formula dell'area, base*altezza).

[feddy]

disegnati il triangolo ABC inscritto nella criconferenza, con A vertice più alto e la base formata da BC. Prendi la distanza tra il centro della circonferenza O e il punto H che biseca la base del triangolo. Se chiamiamo $x$ la distanza $AH$, allora HO è dato da $|x-r|$. Applicando Pitagora al triangolo BOH, dove B è un vertice, trovi che $HB=\sqrt{2rx-x^2}$, da cui l'area è $\text{Area} (x)=x \sqrt(2 r x- x^2)$, e questa è la funzione da studiare-

[gugo82]

Fai il disegno come detto sopra e chiama $theta$ l'angolo alla circonferenza $hat(HAB)$, la cui ampiezza è compresa tra $0$ e $pi/2$.
Allora l'angolo al centro $hat(HOB)$ ha ampiezza $x=2theta$ compresa tra $0$ e $pi$, la semibase $HB$ ha lunghezza $r sin x$ e l'altezza $AH$ lunghezza $r+r cos x$.
Conseguentemente, $"area"(ABC) = r^2 sin x (1+cos x)$ e, studiando la funzione in $[0,pi]$, si vede che il massimo assoluto è assunto in $x=pi/3$.
Ne consegue che il triangolo che massimizza l'area è quello equilatero.