Problema di massimi e minimo: triangolo isoscele

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti.

La traccia del problema è:

Nell'insieme dei triangoli isosceli inscritti in un cerchio di raggio che misura r, determina quello di area massima.

Io l'ho svolto cosi:

\(\displaystyle h = 2r – x \) (altezza)

Secondo teorema di Euclide:

\(\displaystyle y = √(h * x) = √[ (2r – x)x ] = √(2rx – x^2) \) (semi base)

\(\displaystyle area = 2y * h / 2 = y * h \)

Pongo raggio \(\displaystyle r = 1 \).

La funzione dell'area è:

\(\displaystyle f(x) = area = √(2x – x^2)(2 – x) \)

La derivata è:

\(\displaystyle f '(x) = (2x^2 - 5x + 2) / √(2x – x^2) \)

Pongo la derivata uguale a zero:

\(\displaystyle (2x^2 - 5x + 2) / √(2x – x^2) = 0 \)

C.E: \(\displaystyle √(2x – x^2)≠0 --> x≠2 \)

\(\displaystyle 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

\(\displaystyle ∆ = 25 – 4(2)(2) = 9 \)

\(\displaystyle x = (5 + 3)/4 = 2 \) (valore non accettabile)

\(\displaystyle x = (5 – 3)/4 = ½ \) (massimo)

\(\displaystyle h = 2r – x = 2 – ½ = 3r/2 \)

Soprattutto quest' ultima riga vorrei sapere se va bene.

Il triangolo che ha altezza 3/2 del raggio è equilatero dunque quest' ultimo è quello cercato.

E' TUTTO corretto secondo voi?

Grazie mille per la disponibilità.

[giammaria2]

Bene nel complesso ma non è proprio TUTTO giusto: in primo luogo l'annullarsi della derivata non garantisce che ci sia un massimo e avresti fatto meglio ad imporre $f'(x)>0$.
Inoltre non va bene il C.E. in parte perchè si deve cercare quello della funzione e non della derivata e soprattutto perché da $sqrt(2x-x^2)!=0$ segue $0 Infine, il fatto di aver posto $r=1$ non è un vero errore, ma che male ti faceva lasciare la lettera? Sarebbe stato più elegante e avrebbe consentito un certo controllo sui calcoli.

[Sk_Anonymous]

Grazie giammaria della risposta. Come mai bisogna fare il campo di esistenza della funzione e non quello della derivata?
Anche perché se faccio il campo di esistenza della funzione la soluzione x=2 sarebbe accettabile.
La limitazione sarebbe questa: 0

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[giammaria2]

Quello che ci interessa è la funzione e quindi calcoliamo il suo campo di esistenza; se in un suo punto la derivata tende ad infinito, questo significa solo che lì il grafico ha una tangente verticale, quindi il C.E. della derivata ha un'importanza secondaria.
La limitazione riguarda sempre i valori che la variabile può assumere e nel tuo problema è $0<=x<=2r$ (e quindi coincide col C.E.: succede spesso, ma non sempre); per x=2r la derivata si annulla perché lì c'è un minimo.