Problema di goniometria

[gcappellotto]

Buongiorno
presento il seguente problema:
Data la circonferenza di diametro $ bar(AB)=2r$ e centro $O$, conduci per $A$ una corda $AC$ tale che $cos hat(CAB)=3/5$. Considera un punto $M$ di tale corda, determina la posizione di $M$ in modo che risulti: $bar(AB)^2/bar(MB)^2=k$.

Soluzione:
$cos \theta =3/5$
ricavo il seno:
$sin \theta=4/5$
$bar(CB)=2rsin \theta=2r*4/5=8/5r$
pongo $bar(MC)=x \to bar(MC)^2=x^2$
$bar(MB)^2=bar(CB)^2+bar(MC)^2=(8/5r)^2+x^2=65/25r^2+x^2$
$bar(MC)^2/bar(MB)^2=x^2/(64/25r^2+x^2)=k$
ora se $x=0 \to bar(MC)^2/bar(MB)^2=0$
se $x=bar(AC)=2rcos(\theta) \to x^2=36/25r^2$
$bar(MC)^2/bar(MB)^2=(36/25r^2)/(64/25r^2+36/25r^2)=9/25
quindi $k \in[0,9/25]$

Gradirei qualche commento e qualche consiglio.
Grazie e saluti.
Giovanni C.

[giammaria2]

Cominciamo con le cose poco importanti:
1) Direi che il tuo problema non è di goniometria ma di trigonometria: la goniometria si occupa solo degli angoli, mentre la trigonometria si riferisce ai triangoli e alle altre figure geometriche. E' però vero che hai usato solo il teorema di Pitagora e qualche formula goniometrica, non la trigonometria in senso stretto.
2) Nel testo scrivi $bar(AB)^2/bar(MB)^2=k$, ma poi usi $bar(MC)^2/bar(MB)^2=k$; proseguo supponendo che la formula giusta sia la seconda.
Passiamo ora alla parte importante. Hai ottenuto $x^2/(64/25r^2+x^2)=k$ e devi discutere questa equazione: a questo scopo bisogna usare la teoria della discussione di equazioni. Non basta osservare quello che succede ai due estremi perché il primo membro potrebbe assumere all'interno dell'intervallo un valore maggiore (o minore) di quelli estremi: puoi convincertene col seguente esempio.
"Su una semirconferenza di diametro AB=2r individuare un punto C in modo che l'area di ABC sia k". Posto AC=x, variabile fra 0 e 2r, trovi che l'area vale zero in entrambi gli estremi, mentre è evidente che sono possibili anche altri valori.
Nel tuo particolare problema la risposta è giusta perché il primo membro aumenta sempre all'aumentare di $x$, ma devi dimostrare questa affermazione oppure agire in altro modo. Hai studiato la discussione di equazioni? Che metodi conosci?

[gcappellotto]

"giammaria":Cominciamo con le cose poco importanti:
1) Direi che il tuo problema non è di goniometria ma di trigonometria: la goniometria si occupa solo degli angoli, mentre la trigonometria si riferisce ai triangoli e alle altre figure geometriche. E' però vero che hai usato solo il teorema di Pitagora e qualche formula goniometrica, non la trigonometria in senso stretto.
2) Nel testo scrivi $bar(AB)^2/bar(MB)^2=k$, ma poi usi $bar(MC)^2/bar(MB)^2=k$; proseguo supponendo che la formula giusta sia la seconda.
Passiamo ora alla parte importante. Hai ottenuto $x^2/(64/25r^2+x^2)=k$ e devi discutere questa equazione: a questo scopo bisogna usare la teoria della discussione di equazioni. Non basta osservare quello che succede ai due estremi perché il primo membro potrebbe assumere all'interno dell'intervallo un valore maggiore (o minore) di quelli estremi: puoi convincertene col seguente esempio.
"Su una semirconferenza di diametro AB=2r individuare un punto C in modo che l'area di ABC sia k". Posto AC=x, variabile fra 0 e 2r, trovi che l'area vale zero in entrambi gli estremi, mentre è evidente che sono possibili anche altri valori.
Nel tuo particolare problema la risposta è giusta perché il primo membro aumenta sempre all'aumentare di $x$, ma devi dimostrare questa affermazione oppure agire in altro modo. Hai studiato la discussione di equazioni? Che metodi conosci?

Hai ragione, ho fatto un errore, la forma corretta è questa $bar(MC)^2/bar(MB)^2=k$
La discussione l'ho studiata, come metodo conosco quello del "cerchio fisso". In questo problema ho avuto delle difficoltà nello scrivere l'equazione, per questo ho utilizzato il metodo che ho riportato.

[giammaria2]

Il metodo del cerchio fisso va bene quando l'incognita è un angolo e si ha un'equazione lineare (o riconducibile ad essa) in seno e coseno. Nel tuo caso invece l'incognita è un segmento, quindi occorrono altri metodi (oppure cambiare l'impostazione del problema). Ne conosci?

[gcappellotto]

"giammaria":Il metodo del cerchio fisso va bene quando l'incognita è un angolo e si ha un'equazione lineare (o riconducibile ad essa) in seno e coseno. Nel tuo caso invece l'incognita è un segmento, quindi occorrono altri metodi (oppure cambiare l'impostazione del problema). Ne conosci?

Purtroppo non ne conosco.

[giammaria2]

Allora le cose si complicano. Infatti
- esiste un metodo generale per discutere tutte le equazioni del tipo $f(x)=k$ ma non è breve e richiede di conoscere lo studio di funzione, che credo tu non abbia ancora fatto;
- esistono metodi per discutere tutte le equazioni di secondo grado ma nessuno di essi mi sembra abbastanza generico da applicarsi al tuo problema e contemporaneamente abbastanza facile da spiegare e ricordare. Si può ricorrere a qualche artificio ma non mi pare molto didattico;
- un modo possibile è ricavare $x$ e poi imporre che soddisfi alle limitazioni date, però è un po' lungo: nel tuo caso funziona benino, ma in altri problemi può richiedere calcoli complicati.

Suggerisco di impostare diversamente il problema. Posto $x=C hatBM$, osservando il triangolo rettangolo BCM noti che $MC=MBsenx$ e l'equazione diventa $sen^2x=k$. A questo punto sai che il primo membro aumenta all'aumentare dell'incognita e puoi tranquillamente usare il tuo metodo di considerare solo gli estremi.