Problema di goniometria
Salve a tutti
sono alle prese con il seguente problema:
Ho un angolo covesso MON (vertice in O) di ampiezza $alpha$ tale che $cos alpha =-3/5$, presi due punti su OM e ON tali che $OA=a$ e $OB=2a$, condurre per il vertice O una semiretta interna all'angolo MON tale che, detto P il punto di essa distante 2a da O si abbia: $ PA^2+PB^2=kAO^2. (k \in R_0^+).
Ho determinato i casi limite:
prendo P sovrapposto a B, quindi $PB=0$
$PA^2+0=ka^2$
determino la lunghezza del lato PA applicando Carnot al triangolo AOP:
$PA^2=4a^2+a^2-4a^2(-3/5)=37a^2/5$
$k=37a^2/5*1/a^2=37/5$
Similmente trovo il valore di k quando P si trova sul prolungamento del lato AO: $k=69/5$, quindi $k \in [37/5;69/5]$
Fino a questo punto i risultati sono corretti, la mia difficoltà consiste nel fatto che mi è stato obiettato che esiste un altro intervallo per k.
Gradirei qualche indicazione in merito.
Grazie e cordiali saluti.
Giovanni C.
sono alle prese con il seguente problema:
Ho un angolo covesso MON (vertice in O) di ampiezza $alpha$ tale che $cos alpha =-3/5$, presi due punti su OM e ON tali che $OA=a$ e $OB=2a$, condurre per il vertice O una semiretta interna all'angolo MON tale che, detto P il punto di essa distante 2a da O si abbia: $ PA^2+PB^2=kAO^2. (k \in R_0^+).
Ho determinato i casi limite:
prendo P sovrapposto a B, quindi $PB=0$
$PA^2+0=ka^2$
determino la lunghezza del lato PA applicando Carnot al triangolo AOP:
$PA^2=4a^2+a^2-4a^2(-3/5)=37a^2/5$
$k=37a^2/5*1/a^2=37/5$
Similmente trovo il valore di k quando P si trova sul prolungamento del lato AO: $k=69/5$, quindi $k \in [37/5;69/5]$
Fino a questo punto i risultati sono corretti, la mia difficoltà consiste nel fatto che mi è stato obiettato che esiste un altro intervallo per k.
Gradirei qualche indicazione in merito.
Grazie e cordiali saluti.
Giovanni C.
Risposte
Sì, esiste un altro intervallo per [tex]k[/tex]: quando l'angolo $P hatOB$ è abbastanza piccolo, [tex]k[/tex] scende al di sotto di $37/5$, fino ad un valore minimo $(65-4sqrt65)/5$ (salvo errori di calcolo); in questo intervallo, ad ogni valore di [tex]k[/tex] corrispondono due soluzioni accettabili.
Il metodo di soluzione non è il tuo ma questo: indica con x uno dei due angoli $A hatOP$ e $B hatOP$ e calcola [tex]PA[/tex] e [tex]PB[/tex] col teorema di Carnot; sostituendo nella formula ottieni un'equazione lineare in seno e coseno. La discuti facilmente con metodo del cerchio fisso.
Il metodo di soluzione non è il tuo ma questo: indica con x uno dei due angoli $A hatOP$ e $B hatOP$ e calcola [tex]PA[/tex] e [tex]PB[/tex] col teorema di Carnot; sostituendo nella formula ottieni un'equazione lineare in seno e coseno. La discuti facilmente con metodo del cerchio fisso.
"giammaria":
Sì, esiste un altro intervallo per [tex]k[/tex]: quando l'angolo $P hatOB$ è abbastanza piccolo, [tex]k[/tex] scende al di sotto di $37/5$, fino ad un valore minimo $(65-4sqrt65)/5$ (salvo errori di calcolo); in questo intervallo, ad ogni valore di [tex]k[/tex] corrispondono due soluzioni accettabili.
Il metodo di soluzione non è il tuo ma questo: indica con x uno dei due angoli $A hatOP$ e $B hatOP$ e calcola [tex]PA[/tex] e [tex]PB[/tex] col teorema di Carnot; sostituendo nella formula ottieni un'equazione lineare in seno e coseno. La discuti facilmente con metodo del cerchio fisso.
Grazie per la risposta. Il valore di k è corretto, però non mi è chiara l'affermazione ...ottieni un'equazione lineare in seno e coseno...
mi scuserai, ma non maneggio ancora bene questi concetti di goniometria.
Grazie e saluti.
Giovanni C.
Ti aiuto, ma facendo solo parte dei calcoli; gli altri devi farli tu. Comincio col calcolare
$sin alpha=sqrt(1-cos^2alpha)=...=4/5$
Posto poi $x=A hatOP$, si ha
$PB^2=OB^2+OP^2-2*OB*OPcos(alpha-x)=$ $4a^2+4a^2-8a^2(cos alpha cos x+sin alpha sin x)$ $=8a^2(1+3/5cos x-4/5 sin x)$
Il calcolo di $PA^2$ è più facile; alla fine ottieni l'equazione (lineare in seno e coseno)
$65+4cosx-32sinx=5k$
Per proseguire devi conoscere il metodo del cerchio fisso; se non lo sai, è meglio che tu lo studi sul tuo libro.
$sin alpha=sqrt(1-cos^2alpha)=...=4/5$
Posto poi $x=A hatOP$, si ha
$PB^2=OB^2+OP^2-2*OB*OPcos(alpha-x)=$ $4a^2+4a^2-8a^2(cos alpha cos x+sin alpha sin x)$ $=8a^2(1+3/5cos x-4/5 sin x)$
Il calcolo di $PA^2$ è più facile; alla fine ottieni l'equazione (lineare in seno e coseno)
$65+4cosx-32sinx=5k$
Per proseguire devi conoscere il metodo del cerchio fisso; se non lo sai, è meglio che tu lo studi sul tuo libro.
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