Problema di goniometria
Buongiorno a tutti. Non saprei come risolvere l'esercizio in foto. Ho calcolato l'ipotenusa del triangolo SBA, ma credo mi serva a poco. Non avendo né il seno né il coseno di alpha, non so davvero che fare. Ho pensato al fatto che la somma di $2a$ e dell'angolo in A dev'essere di 90 gradi, ma non vedo come potrebbe essermi utile. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Ho bisogno solo di un minimo input, dopodiché proseguo da solo. Grazie per l'aiuto e buona giornata!
Risposte
Hai l'altezza del campanile e la distanza tra il punto iniziale e la base del campanile.
Con queste due informazioni puoi ricavare $alpha$? prova.
Con queste due informazioni puoi ricavare $alpha$? prova.
"ronti":
Hai l'altezza del campanile e la distanza tra il punto iniziale e la base del campanile.
Con queste due informazioni puoi ricavare $alpha$? prova.
Hai ragione! Posso trovare il $senalpha$ facendo AB/AS ed il $cosalpha$ con SB/SA, giusto? Oppure, volendo potrei anche calcolare solo il seno o il coseno e, con l'arcoseno o l'arcocoseno, trovare $alpha$. Corretto? Spero di non aver sparato cavolate
Grazie per l'aiuto e buona giornata!
Figurati, buona serata anche a te!
P.s. per essere sicuro di qualsiasi formula, se non hai il libro sotto mano, ti consiglio di controllare su ****. E' un ottimo sito. Basta che scrivi su google "(argomento che ti interessa) ****" ad esempio "trigonometria ****"
P.s. per essere sicuro di qualsiasi formula, se non hai il libro sotto mano, ti consiglio di controllare su ****. E' un ottimo sito. Basta che scrivi su google "(argomento che ti interessa) ****" ad esempio "trigonometria ****"
@ronti
[ot]È molto simpatico che in questo Forum tu indirizzi gli utenti su un sito, diciamo così, concorrente
Tra l'altro ti sfugge il fatto che Matematicamente.it non è solo un Forum ma prima ancora un sito che, tra le altre cose, pubblica pure libri di Matematica
E per finire, da un anno a questa parte, Matematicamente.it è parte della rete di Skuola.net.
Scusa se è poco
[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]È molto simpatico che in questo Forum tu indirizzi gli utenti su un sito, diciamo così, concorrente
Tra l'altro ti sfugge il fatto che Matematicamente.it non è solo un Forum ma prima ancora un sito che, tra le altre cose, pubblica pure libri di Matematica
E per finire, da un anno a questa parte, Matematicamente.it è parte della rete di Skuola.net.
Scusa se è poco
[/ot]Cordialmente, Alex
@ronti
Ciao, scusami, ho svolto i passaggi che vedi in foto. A questo punto, sono nuovamente indeciso su come procedere. Ho pensato che potrei calcolare $tan2a$ e, così, troverei AT e, successivamente, mediante il teorema di Pitagora, troverei TB, che è ciò che il problema mi chiede, penso. Tuttavia, avendo pochissima dimestichezza con le definizioni rigorose delle funzioni (:lol:), non so se AT possa essere ritenuto a pieno titolo tangente di $2a$ (tenendo conto del fatto che la tangente è uguale al coefficiente angolare di una retta credo anche di sì, ma non sono sicuro.) Cosa ne diresti? Grazie per l'aiuto e buona giornata!
Ciao, scusami, ho svolto i passaggi che vedi in foto. A questo punto, sono nuovamente indeciso su come procedere. Ho pensato che potrei calcolare $tan2a$ e, così, troverei AT e, successivamente, mediante il teorema di Pitagora, troverei TB, che è ciò che il problema mi chiede, penso. Tuttavia, avendo pochissima dimestichezza con le definizioni rigorose delle funzioni (:lol:), non so se AT possa essere ritenuto a pieno titolo tangente di $2a$ (tenendo conto del fatto che la tangente è uguale al coefficiente angolare di una retta credo anche di sì, ma non sono sicuro.) Cosa ne diresti? Grazie per l'aiuto e buona giornata!
No foto ma formule, please
"axpgn":
No foto ma formule, please
Perdonami, in che senso? Quelle di prima o quelle per trovare la tangente (ammesso e non concesso che sia effettivamente la tangente
)?
Dopo 84 messaggi (e dopo aver letto il regolamento 
) dovresti sapere che è obbligatorio scrivere le formule nel modo "giusto" ovvero usando il linguaggio apposito (Latex o AsciiMath che sia) o usando l'editor a disposizione.
Le fotografie andrebbero inserite solo se strettamente necessario (neppure la prima lo sarebbe ).
Cordialmente, Alex
) dovresti sapere che è obbligatorio scrivere le formule nel modo "giusto" ovvero usando il linguaggio apposito (Latex o AsciiMath che sia) o usando l'editor a disposizione.Le fotografie andrebbero inserite solo se strettamente necessario (neppure la prima lo sarebbe
).Cordialmente, Alex
Comunque penso che l'esercizio abbia l'obiettivo di utilizzare le tangenti.
Quindi prima trova la tangente dell'angolo $alpha$, poi usa la formula di duplicazione della tangente (che più precisamente ti fornisce la tangente del doppio dell'angolo $alpha$).
Infine dal valore della tangente dell'angolo doppio e dall'altezza del campanile, ricavi la distanza dallo stesso.
Cordialmente, Alex
Quindi prima trova la tangente dell'angolo $alpha$, poi usa la formula di duplicazione della tangente (che più precisamente ti fornisce la tangente del doppio dell'angolo $alpha$).
Infine dal valore della tangente dell'angolo doppio e dall'altezza del campanile, ricavi la distanza dallo stesso.
Cordialmente, Alex
Grazie infinite per l'aiuto! Quanto alle formule, se il fine di tutto è la comprensione del testo del problema e dei calcoli, penso che queste formalità siano l'ultima delle preoccupazioni...
Poi, ehm, diciamo che non ho molta dimestichezza. Questo è il tentativo che ho provato a fare di "traduzione": In primo luogo, mediante il teorema di Pitagora, ho calcolato l'ipotenusa del triangolo. Secondariamente, ho calcolato $ sena $ con cateto opposto/ipotenusa e, successivamente, ho calcolato anche $ cosa $ con cateto adiacente/ipotenusa . Dunque, $ a $ è l'arcoseno di $ 9 \sqrt{181}/181 $ e l'arcocoseno di $ 10 \sqrt{181}/ 181 $. Con le dovute approssimazioni, $ a $ è circa $\pi/5$. Pertanto, ho considerato come $ sena $ e $ cosa $ il seno ed il coseno di $\pi/5$. Così, ho calcolato il $ sen2a $ con $ 2senacosa $ e il $ cos2a $ con $ 2cos^2a-1 $ (poiché mi sembra la più comoda in questo caso tra le varie formule) ed ho trovato che $ 2a $ è circa $2\pi/5 $. Ora, mi ritrovo nella situazione di stallo già esposta sopra, ossia: non so come proseguire, giacché non saprei come ricavare il segmento $ TB $ da ciò che ho calcolato. Ho ipotizzato che $ TA $ coincida con $ tan2a $, ma non ne sono sicuro.
In una parola, è orribile. E francamente non capisco nemmeno perché escano tutte quelle frecce o quant'altro. Ad ogni modo, ti ringrazio nuovamente e vorrei chiederti una curiosità: anche come l'ho svolto io poteva andare? Perlomeno fino al punto dov'ero giunto. Dato che credo di orientarmi verso facoltà legate a matematica, sto cercando, diciamo, di acquisire una forma mentis adatta e, personalmente, ritengo che si veda proprio in questo, nel modo di approcciare e risolvere problemi, segnatamente quelli legati alla geometria.
Buona serata!
Poi, ehm, diciamo che non ho molta dimestichezza. Questo è il tentativo che ho provato a fare di "traduzione": In primo luogo, mediante il teorema di Pitagora, ho calcolato l'ipotenusa del triangolo. Secondariamente, ho calcolato $ sena $ con cateto opposto/ipotenusa e, successivamente, ho calcolato anche $ cosa $ con cateto adiacente/ipotenusa . Dunque, $ a $ è l'arcoseno di $ 9 \sqrt{181}/181 $ e l'arcocoseno di $ 10 \sqrt{181}/ 181 $. Con le dovute approssimazioni, $ a $ è circa $\pi/5$. Pertanto, ho considerato come $ sena $ e $ cosa $ il seno ed il coseno di $\pi/5$. Così, ho calcolato il $ sen2a $ con $ 2senacosa $ e il $ cos2a $ con $ 2cos^2a-1 $ (poiché mi sembra la più comoda in questo caso tra le varie formule) ed ho trovato che $ 2a $ è circa $2\pi/5 $. Ora, mi ritrovo nella situazione di stallo già esposta sopra, ossia: non so come proseguire, giacché non saprei come ricavare il segmento $ TB $ da ciò che ho calcolato. Ho ipotizzato che $ TA $ coincida con $ tan2a $, ma non ne sono sicuro.
In una parola, è orribile. E francamente non capisco nemmeno perché escano tutte quelle frecce o quant'altro. Ad ogni modo, ti ringrazio nuovamente e vorrei chiederti una curiosità: anche come l'ho svolto io poteva andare? Perlomeno fino al punto dov'ero giunto. Dato che credo di orientarmi verso facoltà legate a matematica, sto cercando, diciamo, di acquisire una forma mentis adatta e, personalmente, ritengo che si veda proprio in questo, nel modo di approcciare e risolvere problemi, segnatamente quelli legati alla geometria.
Buona serata!
Per favore, sistema il tuo messaggio.
Prima di premere il tasto "Invia", è SEMPRE meglio premere il tasto "Anteprima", così è possibile rimediare in anticipo agli eventuali errori commessi.
Prima di premere il tasto "Invia", è SEMPRE meglio premere il tasto "Anteprima", così è possibile rimediare in anticipo agli eventuali errori commessi.
L'ho fatto, ma non riesco a capire cosa cavolo succeda quando mi mette quelle frecce. Appena avrò tempo, mi studierò come funziona (per carità, ho 17 anni e non lavoro in miniera, ma sto preparando tante cose contemporaneamente e, davvero, ho tempo libero soltanto la sera.) Buona serata e grazie di nuovo!
Devi racchiudere le formule tra i simboli del dollaro ma solamente le formule; se dimentichi un dollaro, il sistema non capisce e interpreta tutto come una formula, anche ciò che non lo è, fino a quando trova un altro dollaro, il quale però è l'inizio di un'altra formula e non la fine
Hai calcolato mezzo mondo! Peraltro per non concludere niente
Ricorda che ti basta conoscere una qualsiasi delle funzioni trigonometriche per risalire all'angolo che le genera.
Non è necessario calcolare tutte
In questo caso la più "naturale" da usare è la tangente dato che conosci i cateti.
Ricorda inoltre che da una sola funzione trigonometrica puoi ricavare le altre cinque relative allo stesso angolo, grazie alle relazioni fondamentali $tan(x)=sin(x)/cos(x)$ e $(sin(x))^2+(cos(x))^2=1$ (e i reciproci di seno, coseno e tangente).
Hai calcolato seno e coseno per ricavare l'angolo poi raddoppiarlo per poi ricavare i nuovi seni e coseni, solo che non avevi idea di quale fosse la strada per raggiungere l'obiettivo
Peraltro, un'altra cosa che devi sapere è che esistono alcune formule che permettono di passare dal valore di una funzione trigonometrica di un angolo a quella, per esempio, del suo doppio, direttamente, senza conoscere l'angolo in questione, e questo non solo ti permette di risparmiare tempo ma anche ti evita di fare calcoli sempre insidiosi come quelli delle inverse trigonometriche e di usare calcolatrici o tabelle.
In questo caso segui il percorso che ho scritto precedentemente, mi pare il più breve.
Cordialmente, Alex
Ricorda che ti basta conoscere una qualsiasi delle funzioni trigonometriche per risalire all'angolo che le genera.
Non è necessario calcolare tutte
In questo caso la più "naturale" da usare è la tangente dato che conosci i cateti.
Ricorda inoltre che da una sola funzione trigonometrica puoi ricavare le altre cinque relative allo stesso angolo, grazie alle relazioni fondamentali $tan(x)=sin(x)/cos(x)$ e $(sin(x))^2+(cos(x))^2=1$ (e i reciproci di seno, coseno e tangente).
Hai calcolato seno e coseno per ricavare l'angolo poi raddoppiarlo per poi ricavare i nuovi seni e coseni, solo che non avevi idea di quale fosse la strada per raggiungere l'obiettivo
Peraltro, un'altra cosa che devi sapere è che esistono alcune formule che permettono di passare dal valore di una funzione trigonometrica di un angolo a quella, per esempio, del suo doppio, direttamente, senza conoscere l'angolo in questione, e questo non solo ti permette di risparmiare tempo ma anche ti evita di fare calcoli sempre insidiosi come quelli delle inverse trigonometriche e di usare calcolatrici o tabelle.
In questo caso segui il percorso che ho scritto precedentemente, mi pare il più breve.
Cordialmente, Alex
Hai ragione! Purtroppo non sono ancora abituato a ragionare, diciamo, in maniera matematica; per risolvere un problema, ho scritto un testo, per dirlo con un'antitesi significativa.
Ad ogni modo, d'accordo, utilizzando la formula di duplicazione ho trovato $ tan2a $. Ma, a questo punto, come mai devo fare $ AB : tan 2a $? Non mi ricorda nessuna formula o, comunque, ragionamento che abbia mai incontrato...
Comunque, ti ringrazio per l'aiuto e per la pazienza. Buona giornata!
Ad ogni modo, d'accordo, utilizzando la formula di duplicazione ho trovato $ tan2a $. Ma, a questo punto, come mai devo fare $ AB : tan 2a $? Non mi ricorda nessuna formula o, comunque, ragionamento che abbia mai incontrato...
Comunque, ti ringrazio per l'aiuto e per la pazienza. Buona giornata!
"Ema2003":
Ma, a questo punto, come mai devo fare $ tan2a * AB $? Non mi ricorda nessuna formula o, comunque, ragionamento che abbia mai incontrato...
Il rapporto fra i cateti è la tangente di (uno degli) angoli acuti. Da cui, un cateto è uguale all'altro per la tangente del suddetto angolo
Capisco, grazie mille! Ma, dunque, in questo caso, $ AT $ è la tangente di $ 2a $?
No. $AT$ è un segmento, non un angolo. La tangente di $2alpha$ è il rapporto dei cateti: $(AT)/(BT)$
Conosci $AB=99$ che è l'altezza del campanile e conosci $SB=110$ che è la distanza iniziale dal campanile.
$AB$ e $SB$ sono i cateti del triangolo rettangolo $ABS$, retto in $\hatB$.
La tangente di un angolo è il rapporto tra la misura del cateto opposto all'angolo e quello adiacente all'angolo.
In questo caso abbiamo che la tangente di $alpha$ è $tan(alpha)=(AB)/(SB)=99/110=0.9$
Ora, esiste una formuletta che ti permette di conoscere il valore della tangente del doppio di un angolo dato se conosci la tangente di quest'ultimo.
Quindi possiamo calcolarci la tangente di $2alpha$ senza conoscere per forza $alpha$, ok?
La formula in questione è $tan(2alpha)=(2tan(alpha))/(1-(tan(alpha))^2)$ che applicata al nostro caso dà $tan(2alpha)=(2*0.9)/(1-(0.9)^2)=9.474$
Ora cosa succede? Perché abbiamo calcolato $tan(2alpha)$? Perché facciamo il percorso "inverso" a quello inziale ovvero là avevamo due cateti e ci siamo calcolati la tangente, qui adesso abbiamo la tangente ed un cateto e ci calcoliamo l'altro.
Abbiamo il triangolo $ABT$, conosciamo $tan(2alpha)=9.474$, conosciamo un cateto $AB=99$, per trovare l'altro usiamo $tan(2alpha)=(AB)/(TB)\ ->\ TB=(AB)/tan(2alpha)=99/9.474=10.45$.
Ok?
Cordialmente, Alex
$AB$ e $SB$ sono i cateti del triangolo rettangolo $ABS$, retto in $\hatB$.
La tangente di un angolo è il rapporto tra la misura del cateto opposto all'angolo e quello adiacente all'angolo.
In questo caso abbiamo che la tangente di $alpha$ è $tan(alpha)=(AB)/(SB)=99/110=0.9$
Ora, esiste una formuletta che ti permette di conoscere il valore della tangente del doppio di un angolo dato se conosci la tangente di quest'ultimo.
Quindi possiamo calcolarci la tangente di $2alpha$ senza conoscere per forza $alpha$, ok?
La formula in questione è $tan(2alpha)=(2tan(alpha))/(1-(tan(alpha))^2)$ che applicata al nostro caso dà $tan(2alpha)=(2*0.9)/(1-(0.9)^2)=9.474$
Ora cosa succede? Perché abbiamo calcolato $tan(2alpha)$? Perché facciamo il percorso "inverso" a quello inziale ovvero là avevamo due cateti e ci siamo calcolati la tangente, qui adesso abbiamo la tangente ed un cateto e ci calcoliamo l'altro.
Abbiamo il triangolo $ABT$, conosciamo $tan(2alpha)=9.474$, conosciamo un cateto $AB=99$, per trovare l'altro usiamo $tan(2alpha)=(AB)/(TB)\ ->\ TB=(AB)/tan(2alpha)=99/9.474=10.45$.
Ok?
Cordialmente, Alex
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