Problema di goniometria

[dilettabenedetti]

Trovare gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che la differenza dei loro seni è √2 \sqrt{2}/2 radice di 2 fratto 2

e se invece avessi la differenza dei coseni?

Non riesco ad impostarlo, sembra semplice, ma non riesco proprio a muovermi! Grazie!

[dilettabenedetti]

Radice di 2 fratto 2, scusate non sono pratica a scrivere!

[Gi81]

Chiamiamo $alpha$ e $beta$ i due angoli acuti (il terzo angolo del triangolo rettangolo è ovviamente un angolo retto).
Si ha $0
Ti dice che $sin(alpha)-sin(beta)= sqrt2/2$.
Da $alpha= pi/2 - beta$ hai $sin(alpha) = sin(pi/2-beta)= cos(beta)$. Ora non dovresti più avere probliemi.

[salfor76]

Ritengo che nel caso di differenza dei coseni si debba procedere allo stesso modo. Cambia poi l'arco associato!

[dilettabenedetti]

Grazie mille! Per risolvere poi l'equazione che viene io l'unico metodo che conosco è quello di intersecare l'equazione ottenuta con la prima relazione fondamentale della goniometria (la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a 1) chiamando però sin(x) = Y e cos(x) = X

quindi verrebbe un sistema fra cos(beta) - sin(beta) = radice di 2 fratto 2. E. Y(alla seconda) + X(alla seconda) =1



peroò arrivo al delta che viene radice di sei e le soluzioni mi sembrano parecchio strane, anzi mi sembrano entra,be' impossibili.. Sapete dove sbaglio?

[chiaraotta1]

Se
$sin(alpha)-sin(beta)= sqrt(2)/2$,
con $alpha>beta$, e $beta=pi/2-alpha$,
allora l'equazione da risolvere è
$sin(alpha)-sin(pi/2-alpha)= sqrt(2)/2->sin(alpha)-cos(alpha)= sqrt(2)/2->$
$sin(alpha)=cos(alpha)+sqrt(2)/2$.
Poiché
$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1$,
allora, sostituendo, si ottiene l'equazione di 2o grado in $cos(alpha)$
$[cos(alpha)+sqrt(2)/2]^2+cos^2(alpha)-1=0$
e cioè
$cos^2(alpha)+sqrt(2)cos(alpha)+1/2+cos^2(alpha)-1=0$
$4cos^2(alpha)+2sqrt(2)cos(alpha)-1=0$,
le cui soluzioni sono
$cos(alpha)_(1, 2)=(-sqrt(2)+-sqrt(6))/4$.
Poiché $alpha $cos(alpha)=(sqrt(6)-sqrt(2))/4->alpha=5/12pi, beta=pi/12$.

[@melia]

Non credo che tu abbia sbagliato, è solo che il metodo non è il migliore per questo tipo di esercizi. La via migliore sarebbe questa
$cos beta - sin beta=sqrt2/2$ moltiplico entrambi i membri per $sqrt2/2$ e ottengo
$sqrt2/2 cos beta - sqrt2/2 sin beta=(sqrt2/2)^2$ sappiamo che $sqrt2/2$ è sia seno che coseno di $pi/4$, quindi
$sin (pi/4) cos beta - cos (pi/4) sin beta = 1/2$ il primo membro è lo sviluppo del seno di una differenza
$sin (pi/4 - beta) =1/2$, sapendo che $1/2$ è il seno di $pi/6$ ottieni che
$pi/4 - beta = pi/6$ da cui $beta = pi/4 - pi/6 = pi/12$ e $alpha = pi/2 -beta = pi/2 - pi/12= 5/12 pi$

[dilettabenedetti]

Grazie mille!