Problema di geometria solida

[soraa1]

Salve ho un esercizio che non so proprio come si possa risolvere. Se gentilmente potreste darmi una mano.
La traccia dice: Determinare il raggio della sfera inscritta in un tetraedro regolare avente lo spigolo di lunghezza a.

Il risultato è a/4 radq2/3

[giammaria2]

Congiungendo il centro della sfera con i vertici del tetradro, vediamo che quest'ultimo si divide in quattro piramidi uguali, aventi per base una faccia del tetraedro e per altezza il raggio della sfera. Quindi, detto r il raggio, S la superficie di una faccia e V il volume del tetradro si ha $1/3 Sr=1/4 V$. Ricordando che $S=(a^2 sqrt 3)/4$ e $V=(a^3 sqrt 2)/12$ ottieni $r=(a sqrt 6)/12$, che è il tuo risultato razionalizzato.

[soraa1]

Potresti spiegarmi meglio? non ho capito molto bene... Perchè 1/3 superfiecie x raggio è uguale a 1/4 di Volume?

[giammaria2]

Il tetraedro è diviso in 4 piramidi uguali e il volume di ciascuna di esse può essere calcolato in due modi diversi che ho eguagliato fra loro: o notando che è un quarto del volume totale o ricordando la formula $V=1/3 S_("base")* "altezza"$. Nel nostro caso la base è una faccia del poliedro e l'altezza è il raggio della sfera, poiché il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alle facce.