Problema di Geometria Solida

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Ho il seguente problema:
"Sia data una sfera di centro $O$ e raggio di misura $R$; sia $SS'$ un suo diametro. Un piano si muove mantenendosi perpendicolare a tale diametro. Nel cerchio, intersezione di questo piano con la sfera, si inscriva un trangolo equilatero $ABC$ e sia $H$ il centro di questo cerchio. Si indichi $SH$ con $x$. Si calcoli in funzione di $x$ e di $R$ la superficie del triangolo equilatero $ABC$".

Ovviamente appena trovo il raggio del cerchio intersezione del piano con la sfera è facile trovare l'area del triangolo equilatero $ABC$. Tuttavia (sarà forse la stanchezza?!) ma non riesco a trovare il raggio della circonferenza formatasi. Qualcuno può aiutarmi?

Andrea

[MaMo2]

Basta usare il teorema di Pitagora. Si ha:

$CH=sqrt(OC^2-OH^2)=sqrt(R^2-(R-x)^2)=sqrt(x(2R-x))$

[Andrea902]

Perchè $OH=R-x$? In base ai calcoli che ho fatto io risulta: $OH=sqrt(x^2-R^2)$...

[@melia]

Non capisco che calcoli hai fatto: visto che S, H, O e S' sono allineati, OH si ottiene per differenza tra SO e SH.

[Andrea902]

Forse allora non ho chiaro il testo. Naturalmente i punti $S$, $S'$, $O$ sono allineati in quanto appartengono al medesimo cerchio passante per il centro della sfera in oggetto. Ma $H$, appertenendo alla circonferenza intersezione del piano con la sfera, non mi sembra possa essere allineato con i precedenti punti...
In cosa sbaglio?

[@melia]

Ricorda che il piano deve essere perpendicolare al diametro SS', quindi la sezione sulla sfera deve essere simmetrica rispetto alla retta SS', per cui il punto di intersezione del cerchio sezione con la retta deve coincidere con il centro del cerchio.

[Andrea902]

Giusto! Niente, la stanchezza colpisce terribilmente!
Nel mio disegno (e nella mia mente) il piano secante era parallelo anziché perpendicolare al diametro $SS'$...!
Ora sì che il problema è di una semplicità disarmante!
Grazie dei chiarimenti!

Andrea