Problema di geometria solida
Ragazzi ho provato a fare il seguente problema con scarsi risultati, potreste darmi una mano per favore?
Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base di 30 cm e l'altezza di 36 cm. Determina l'area della superficie totale di un tronco di piramide ottenuto tagliando la piramide con un piano parallelo alla base e distante da essa 15cm.
Grazie a tutti in anticipo.
Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base di 30 cm e l'altezza di 36 cm. Determina l'area della superficie totale di un tronco di piramide ottenuto tagliando la piramide con un piano parallelo alla base e distante da essa 15cm.
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
mostra che cosa hai fatto fin'ora.
"gio73":
mostra che cosa hai fatto fin'ora.
Allora poiché $ St= Sb + Sb' + a(P+p') $
Ho calcolato il semiperimetro $ P=60 $ e la superficie $ Sb=900 $ essendo $ ABCD $ un quadrato. Grazie alla proporzione $ P:p'=h:h' $ ed essendo $ h=36 $ e $ h'=36-15=21 $
$ p'= (60 x 21)/36=35 $
Il problema è l'apotema che, aplicando il teorema di pitagora al $ VAO $ ove V è il vertice e VO l'altezza, dovrebbe essere pari a $3 sqrt 194 $ Penso però di aver sbagliato poprio questo
Ciao non vedendo il disegno non capisco quale sia il triangolo $VAO$, ad ogni modo è conveniente distinguere la piramide grande da quella piccola e usare le proporzioni come hai fatto tu. Concentriamoci sulla piramide grande e troviamo il suo apotema: dobbiamo applicare il teorema di pitagora ad un triangolo di cui conosciamo i due cateti, l'altezza $36$ e mezzo lato del quadrato cioè l'apotema di base $30:2=15$, riconosco la terna pitagorica $15 (5*3); 36 (12*3); 39 (13*3)$ e concludo che l'apotema della piramide grande vale $39$, applico la similitudine per trovare l'apotema della piramide piccola.
Edit: pensando alla similitudine si potrebbe provare a risolvere speditamente il problema, se ti interessa illustro.
Edit: pensando alla similitudine si potrebbe provare a risolvere speditamente il problema, se ti interessa illustro.
"gio73":
Ciao non vedendo il disegno non capisco quale sia il triangolo $VAO$, ad ogni modo è conveniente distinguere la piramide grande da quella piccola e usare le proporzioni come hai fatto tu. Concentriamoci sulla piramide grande e troviamo il suo apotema: dobbiamo applicare il teorema di pitagora ad un triangolo di cui conosciamo i due cateti, l'altezza $36$ e mezzo lato del quadrato cioè l'apotema di base $30:2=15$, riconosco la terna pitagorica $15 (5*3); 36 (12*3); 39 (13*3)$ e concludo che l'apotema della piramide grande vale $39$, applico la similitudine per trovare l'apotema della piramide piccola.
Edit: pensando alla similitudine si potrebbe provare a risolvere speditamente il problema, se ti interessa illustro.
Magari, grazie mille
Termina l'esercizio per conto tuo, poi postalo che lo commentiamo. Solo alla fine parliamo di un altro possibile metodo.
"gio73":
Termina l'esercizio per conto tuo, poi postalo che lo commentiamo. Solo alla fine parliamo di un altro possibile metodo.
L'ho terminato facendo riferimento al fatto che la faccia laterale è un trapezio isoscele, quindi mi sono trovato il lato obliquo del trapezio corrispondente all'apotema $ a=65/4 $
a cosa ti serve il lato obliquo del trapezio?
Svolgi l'intero esercizio, puoi saltare le spiegazioni a parole: fallo come lo faresti vedere al prof.
Svolgi l'intero esercizio, puoi saltare le spiegazioni a parole: fallo come lo faresti vedere al prof.
"gio73":
a cosa ti serve il lato obliquo del trapezio?
Svolgi l'intero esercizio, puoi saltare le spiegazioni a parole: fallo come lo faresti vedere al prof.
Allora poiché $ St= Sb + Sb' + a(P+p') $
Ho calcolato il semiperimetro $ P=60 $ e la superficie $ Sb=900 $ essendo $ ABCD $ un quadrato. Grazie alla proporzione $ P:p'=h:h' $ ed essendo $ h=36 $ e $ h'=36-15=21 $
$ p'= (60 x 21)/36=35 $
Avendo il tronco di piramide per facce laterali dei trapezi isosceli, essendo la base maggiore $ AB=30 $ quella minore $ A'B'=35/2 $ Proiettando A' sulla base $ AB $ posso calcolarmi $ AH=(30-35/2)/2=25/4 $ per cui l'altezza del trapezio che denoto con $ A'H''= sqrt (225+625/16)=65/4 $
Capito
era più facile però trovare l'altezza del trapezio come differenza tra l'apotema della piramide grande e l'apotema della piramide piccola: denoto con $a$ l'apotema piccolo e con $A$ l'apotema grande
$A=39$, l'avevo trovato prima
$a$ lo trovo con una proporzione
$36:21=39:a$ (l'altezza della piramide grande sta all'altezza della piramide piccola come l'apotema grande sta all'apotema piccolo)
da cui $a=22,75$
l'altezza del trapezio sarà $39-22,75=16,25$ o anche $65/4$
era più facile però trovare l'altezza del trapezio come differenza tra l'apotema della piramide grande e l'apotema della piramide piccola: denoto con $a$ l'apotema piccolo e con $A$ l'apotema grande
$A=39$, l'avevo trovato prima
$a$ lo trovo con una proporzione
$36:21=39:a$ (l'altezza della piramide grande sta all'altezza della piramide piccola come l'apotema grande sta all'apotema piccolo)
da cui $a=22,75$
l'altezza del trapezio sarà $39-22,75=16,25$ o anche $65/4$
"gio73":
Capito
era più facile però trovare l'altezza del trapezio come differenza tra l'apotema della piramide grande e l'apotema della piramide piccola: denoto con $a$ l'apotema piccolo e con $A$ l'apotema grande
$A=39$, l'avevo trovato prima
$a$ lo trovo con una proporzione
$36:21=39:a$ (l'altezza della piramide grande sta all'altezza della piramide piccola come l'apotema grande sta all'apotema piccolo)
da cui $a=22,75$
l'altezza del trapezio sarà $39-22,75=16,25$ o anche $65/4$
Grazie mille
Un'ultima domanda, come posso definire l'apotema? Perché spesso faccio confusione
L'apotema di una piramide RETTA (solo le piramidi rette hanno l'apotema, sai perché?), è l'altezza delle facce laterali.
Esse possono essere triangoli diversi fra loro, ma hanno tutti la stessa altezza nelle piramidi rette.
Esse possono essere triangoli diversi fra loro, ma hanno tutti la stessa altezza nelle piramidi rette.
"gio73":
L'apotema di una piramide RETTA (solo le piramidi rette hanno l'apotema, sai perché?), è l'altezza delle facce laterali.
Esse possono essere triangoli diversi fra loro, ma hanno tutti la stessa altezza nelle piramidi rette.
No, non so il perché
prova a cercare nel tuo libro la definizione di piramide retta
"gio73":
solo le piramidi rette hanno l'apotema
A scanso di equivoci, precisiamo bene: ogni faccia della piramide ha un suo apotema, che è l'altezza di quel triangolo. Se la piramide non è retta, i vari apotemi sono diversi fra loro e parliamo di apotema relativo alle singole facce; se invece è retta sono uguali ed in quel caso parliamo di apotema della piramide.
Ho usato il maschile perché la parola "apotema" è maschile; il suo uso al femminile è però molto diffuso.
"giammaria":
[quote="gio73"]solo le piramidi rette hanno l'apotema
A scanso di equivoci, precisiamo bene: ogni faccia della piramide ha un suo apotema, che è l'altezza di quel triangolo. Se la piramide non è retta, i vari apotemi sono diversi fra loro e parliamo di apotema relativo alle singole facce; se invece è retta sono uguali ed in quel caso parliamo di apotema della piramide.
Ho usato il maschile perché la parola "apotema" è maschile; il suo uso al femminile è però molto diffuso.[/quote]
Ok, grazie mille. Quindi le particolarità di una piramide retta sarebbero gli apotemi, ossia le altezze delle facce, tutti uguali e..? Scusate se vi faccio queste domande, ma il libro riguardo alla geometria solida lo trovo un po' confusionario
Non ho letto tutta la discussione, ma, poiché ho l'impressione che poppilop abbia bisogno di qualche definizione in più, mi permetto di aggiungere che una piramide si definisce retta se il piede dell'altezza (perpendicolare mandata dal vertice) coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base, il che presuppone anche l'esistenza di tale circonferenza. Infatti, l'apotema può essere visto come ipotenusa di un qualsiasi triangolo rettangolo avente per cateti l'altezza della piramide ed il raggio della circonferenza inscritta nel poligono di base.
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