Problema di geometria solida
Salve a tutti ragazzi, ecco qui un problema di geometria solida sul quale ci ho speso ben due ore con scarsissimi risultati.
"Un cilindro equilatero il cui raggio di base misura R è inscritto in un cono equilatero. Calcola la misura del raggio di base del cono"
Forse è anche semplice, ma non so più dove mettere le mani. Grazie in anticipo
"Un cilindro equilatero il cui raggio di base misura R è inscritto in un cono equilatero. Calcola la misura del raggio di base del cono"
Forse è anche semplice, ma non so più dove mettere le mani. Grazie in anticipo
Risposte
Ci sono più metodi possibili; eccone uno.
Sezionando il solido con un piano perpendicolare alle basi e passante per il vertice, il cono dà il triangolo equilatero $ABC$ ed il cilindro dà il quadrato $DEFG$, con $DE$ su $AB$; traccio $CH$, altezza di $CGF$.
I triangoli $CHF$ ed $EBF$ sono entrambi metà di un triangolo equilatero e conosci $HF$ ed $EF$; ti è quindi facile calcolare $CF$ e $BF$ che, sommati, danno l'apotema del cono e quindi il suo diametro.
Sezionando il solido con un piano perpendicolare alle basi e passante per il vertice, il cono dà il triangolo equilatero $ABC$ ed il cilindro dà il quadrato $DEFG$, con $DE$ su $AB$; traccio $CH$, altezza di $CGF$.
I triangoli $CHF$ ed $EBF$ sono entrambi metà di un triangolo equilatero e conosci $HF$ ed $EF$; ti è quindi facile calcolare $CF$ e $BF$ che, sommati, danno l'apotema del cono e quindi il suo diametro.
Considera la sezione di cono e cilindro con un piano verticale passante per il vertice V del cono ed il centro O delle basi comuni: se chiami O’ il centro dell’altra base del cilindro, A e B due punti (dalla stessa parte) della circonferenza di base del cono e della circonferenza del cilindro di centro O’, i triangoli rettangoli VOA e VO’B sono simili, e, detto $x$ il raggio da calcolare, risulta $VO=x sqrt 3$, ed inoltre vale la proporzione tra i cateti: $x : R = x sqrt 3 : (x sqrt 3 -2R)$, da cui si ricava $x=(3 + 2 sqrt 3)/3 R$.
Prova e facci sapere. Ciao.
edit: mi funziona malissimo internet, ho copiato in ritardo il messaggio... mi dà problemi anche ora ... ormai lo lascio.
Prova e facci sapere. Ciao.
edit: mi funziona malissimo internet, ho copiato in ritardo il messaggio... mi dà problemi anche ora ... ormai lo lascio.
"adaBTTLS":
Considera la sezione di cono e cilindro con un piano verticale passante per il vertice V del cono ed il centro O delle basi comuni: se chiami O’ il centro dell’altra base del cilindro, A e B due punti (dalla stessa parte) della circonferenza di base del cono e della circonferenza del cilindro di centro O’, i triangoli rettangoli VOA e VO’B sono simili, e, detto $x$ il raggio da calcolare, risulta $VO=x sqrt 3$, ed inoltre vale la proporzione tra i cateti: $x : R = x sqrt 3 : (x sqrt 3 -2R)$, da cui si ricava $x=(3 + 2 sqrt 3)/3 R$.
Prova e facci sapere. Ciao.
edit: mi funziona malissimo internet, ho copiato in ritardo il messaggio... mi dà problemi anche ora ... ormai lo lascio.
Innanzitutto vi ringrazio moltissimo per le tempestive risposte.
La proporzione impostata è AO:BO=VO:VO', perché VO' è pari a x sqrt 3 -2R ?
prego.
sì, la proporzione è quella, solo che è BO', non BO.
sì, la proporzione è quella, solo che è BO', non BO.
"giammaria":
Ci sono più metodi possibili; eccone uno.
Sezionando il solido con un piano perpendicolare alle basi e passante per il vertice, il cono dà il triangolo equilatero $ABC$ ed il cilindro dà il quadrato $DEFG$, con $DE$ su $AB$; traccio $CH$, altezza di $CGF$.
I triangoli $CHF$ ed $EBF$ sono entrambi metà di un triangolo equilatero e conosci $HF$ ed $EF$; ti è quindi facile calcolare $CF$ e $BF$ che, sommati, danno l'apotema del cono e quindi il suo diametro.
Grazie mille per avermi risposto, l'unica cosa che mi sfugge è che $EBF$, in che senso è metà triangolo equilatero?
"adaBTTLS":
prego.
sì, la proporzione è quella, solo che è BO', non BO.
Si, mi sono sbagliato a scrivere. Procedimento molto efficace, grazie. Io invece mi ero impuntato sul fatto che AO posso intenderlo come somma di segmenti, il raggio R del cilindro + la parte restante che chiamo x. Quindi avevo posto AV=2(R+x) ma non riuscivo a sbloccarmi
ci dovresti arrivare lo stesso. VB=2R, ... ma questo solo con i due raggi non ti avrebbe portato a niente.
la formula dell'altezza del triangolo equilatero ti avrebbe portato a $VO=(R+x)sqrt 3 = 2R+R sqrt 3$.
mi pare che si ritorna alla stessa formula, forse anche in maniera più semplice.
la formula dell'altezza del triangolo equilatero ti avrebbe portato a $VO=(R+x)sqrt 3 = 2R+R sqrt 3$.
mi pare che si ritorna alla stessa formula, forse anche in maniera più semplice.
"adaBTTLS":
ci dovresti arrivare lo stesso. VB=2R, ... ma questo solo con i due raggi non ti avrebbe portato a niente.
la formula dell'altezza del triangolo equilatero ti avrebbe portato a $VO=(R+x)sqrt 3 = 2R+R sqrt 3$.
mi pare che si ritorna alla stessa formula, forse anche in maniera più semplice.
$(R+x)sqrt 3 = 2R+R sqrt 3$
$R sqrt 3 + x sqrt 3 = 2R+R sqrt 3$
$x sqrt 3 = 2R$
$x=2R/sqrt 3$
Penso che non venga, comunque è laborioso anche questo come metodo
ricordati che cos'era il tuo x, sai continuare?
"adaBTTLS":
ricordati che cos'era il tuo x, sai continuare?
Hai ragione, non è più il semplice x, ora devo sommarci anche R quindi viene.
Ho tirato subito le conclusioni senza ragionare, sbagliando. Scusami.
di nulla.
"poppilop":
l'unica cosa che mi sfugge è che $EBF$, in che senso è metà triangolo equilatero?
Credo che non ci intendiamo sulla figura: nella mia ho, nell'ordine ed allineati, i punti $A,D,E,B$. Quindi $EBF$ è un triangolo con un angolo retto ed uno di 60°: mezzo triangolo equilatero.
"giammaria":
[quote="poppilop"] l'unica cosa che mi sfugge è che $EBF$, in che senso è metà triangolo equilatero?
Credo che non ci intendiamo sulla figura: nella mia ho, nell'ordine ed allineati, i punti $A,D,E,B$. Quindi $EBF$ è un triangolo con un angolo retto ed uno di 60°: mezzo triangolo equilatero.[/quote]
Si, ora ho capito. Grazie mille
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