Problema di geometria solida

[G.D.5]

"Nuova Geometria Operativa - Vol. 2 - Pag. 460 Prob. 22":
Nel triangolo rettangolo \(ABC\) il cateto \(AB\) e l'ipotenusa \(AC\) misurano \(2\sqrt{2} \ \text{cm}\) e \(4\sqrt{2} \ \text{cm}\). Condotto per \(A\) il segmento \(AV=2 \ \text{cm}\) perpendicolare al piano del triangolo, si congiunga \(V\) con \(B\) e con \(C\) e si dimostri che i diedri di spigoli \(VA\) e \(VC\) misurano entrambi \(60°\).

Il presente problema mi è stato sottoposto oggi pomeriggio da mi cugino che frequenta il quarto anno del liceo scientifico, affinché lo aiutassi. Con mio grande rammarico non ne sono stato capace, almeno non del tutto: è stato facile provare che il diedro di spigolo \(VA\) misura \(60°\) ma non sono riuscito a produrre una prova per lo spigolo \(VC\).

Ho perseverato fino ad ora ma niente, quindi chiedo: qualche idea?

[donald_zeka]

Ho provato a condurre la perpendicolare dal punto $B$ allo spigolo $VC$ e dopo aver individuato il punto $H$ ho condotto la perpendicolare da $H$ allo spigolo $AC$ individuando il punto $K$, l'angolo compreso tra $BH$ e $HK$ dovrebbe essere l'angolo del diedro, eppure mi viene che l'angolo ha $cos=sqrt(2)/3$..devo aver sbagliato qualcosa o c'è un qualche errore nel testo

[Sk_Anonymous]

Premetto che nel triangolo ABC, per note regole, risulta $CAB=60°$.
Considero dapprima il diedro che ha per facce VAB e VAC (fig.1). Si ha \(\displaystyle VA \perp AB,VA \perp AC \) e dunque l'angolo $CAB=60°$ è la sezione normale del suddetto diedro. Ciò dimostra la prima parte del quesito.
Passiamo ora al diedro di facce VBC e VAC. Dal punto B (fig.2), nel piano VBC, tracciamo la perpendicolare BP
a VC e da P, nel piano VAC, tracciamo la perpendicolare PQ a VC. Ne segue che l'angolo BPQ è la sezione normale
del detto diedro. Ora, con facili calcoli ( che lascio ai volenterosi ), risulta :
$VB=2sqrt3, BC=2 sqrt 6, VC=6, VP= 2, AQ= sqrt 2, QC=3 sqrt 2, PC=4, PQ= sqrt 2, BP=2 sqrt2, QB= sqrt 6$
[ N.B. La fig.2 non corrisponde ai valori indicati ma è fatta solo per un riferimento visivo...]
Per Carnot, dal triangolo PQB, si ha :
$cos( BPQ)= {PQ^2+BP^2-QB^2}/{2 cdot PQ cdot BP}={2+8-6}/{2 cdot sqrt2 cdot 2 sqrt2} =1/2$
Pertanto è :
$BPQ=60°$
C.V.D.

[G.D.5]

Ah ecco, ecco. Sbagliavo nel sistemare il piano per sezionare il diedro! Erroneamente ritenevo che il piano in grado di sezionare il diedro e fornirne l'ampiezza dovesse passare per \(AB\), sicché ovviamente i miei calcoli "sballavano".

Ringrazio.