Problema di geometria piana, facile...

[gabriello47]

almeno così sembra: In un triangolo equilatero $ABC$, di lato $a$, si fissi un punto $P$ su $AB$ e lo si proietti sui lati $AC$ e $BC$ in $M$ e $N$. Trovare l'area del triangolo $MNP$.
Nei miei tentativi di risoluzione sono precipitato negli abissi della negazione della validità del teorema di Piatgora e del criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli. Eppure sembra un problema così facile.
Pongo $x= AP$ e utilizzo le formule dei triangoli equilateri per calcolare $PB, AM, BN, CM, CN, PN, PM$ e, infine l'altezza del triangolo $MNP$ rispetto, ad es., alla base $PM$. E qui precipito nell'abisso di cui sopra.

[giammaria2]

"gabriello47": ... infine l'altezza del triangolo $MNP$ rispetto, ad es., alla base $PM$.

Non spieghi come hai calcolato quest'altezza: farlo direttamente non è per nulla facile. Consiglio invece di trovare le aree dei tre triangoli APM, PBN, CMN (per quest'ultima, considera come base CN o CM) e di sottrarle dall'area di ABC.
CORREGGO: anche il tuo calcolo è facile. Detta NH quell'altezza, si ha $PN=PB* sqrt 3/2=sqrt3/2(a-x)$, quindi $NH=PN*sqrt3/2=3/4(a-x)$. Per il calcolo dell'area ti manca solo $PM=sqrt3/2x$.

[gabriello47]

giammaria:[quote=gabriello47] ... infine l'altezza del triangolo $MNP$ rispetto, ad es., alla base $PM$.

Non spieghi come hai calcolato quest'altezza: farlo direttamente non è per nulla facile. Consiglio invece di trovare le aree dei tre triangoli APM, PBN, CMN (per quest'ultima, considera come base CN o CM) e di sottrarle dall'area di ABC.
CORREGGO: anche il tuo calcolo è facile. Detta NH quell'altezza, si ha $PN=PB* sqrt 3/2=sqrt3/2(a-x)$, quindi $NH=PN*sqrt3/2=3/4(a-x)$. Per il calcolo dell'area ti manca solo $PM=sqrt3/2x$.[/quote]

Questi risultati li avevo trovati anch'io, ma mi sorgono 2 questioni. La prima è quella di trovare l'equazione risolutiva. Se pongo area di $PNM$= area $ABC -(CNM+PNB+PMA)$ ottengo un'equazione di II grado, letterale, dalla quale non se ne esce vivi.
La seconda è che essendo l'angolo $M\hatPN =120$°, l'altezza rispetto a $PM$ cade sul prolungamento della base che, col lato MP, forma un angolo di $60$°. Detto $H$ il piede di tale altezza il triangolo $PMH$ dovrebbe essere uguale $APM$, avendo un lato e 2 angoli uguali. Impossibile, quindi dov'è l'errore?
Mi spiace di non riuscire ad eseguire il disegno.
Cmq grazie per la risposta. E' bello che anche di domenica ci sia qualcuno a presidiare l'aula di matematica.

[Albert Wesker 27]

Ricordati che l'area di un triangolo è uguale al mezzo prodotto di due dei suoi lati per il seno dell'angolo compreso dai due stessi lati. Cosi eviti di calcolare l'altezza.

[gabriello47]

Albert Wesker 27:Ricordati che l'area di un triangolo è uguale al mezzo prodotto di due dei suoi lati per il seno dell'angolo compreso dai due stessi lati. Cosi eviti di calcolare l'altezza.

Il guaio è che il problema è stato assegnato in seconda liceo nella sezione problemi di II grado. La trigo si fa in terza (o in quarta).
Cmq grazie anche ad Albert W.

[giammaria2]

"gabriello47": il triangolo $PMH$ dovrebbe essere uguale $APM$, avendo un lato e 2 angoli uguali.

Non capisco quale sia il lato uguale: a me sembrano tutti diversi. Comunque il secondo criterio di eguaglianza (anche generalizzato) non si accontenta che siano uguali un lato e due angoli: gli angoli devono essere egualmente disposti rispetto a quel lato. Per ben vederlo, prendi un triangolo rettangolo (con cateti diversi) e traccia l'altezza relativa all'ipotenusa, ottenendo altri due triangoli rettangoli. Considerati due qualsiasi di questi tre triangoli, sono diversi pur avendo uguali un lato e due angoli.
Per quanto riguarda l'equazione di secondo grado, la si ottiene anche col tuo metodo, col quale l'area sarebbe $1/2*sqrt3/2x*3/4(a-x)$; l'equazione non dovrebbe essere tremenda ma io non posso continuare perchè non hai mai detto a cosa deve essere uguale quest'area. Alla peggio, fai la sostituzione $x=a/2-t$: ottieni un'equazione pura. In ogni caso, le due soluzioni corrispondono a due figure uguali fra loro, ma simmetriche rispetto al'asse di AB.

[Nicole931]

dai dati forniti dal problema, sembrerebbe chiaro che non vi sono condizioni che permettano di individuare la posizione esatta del punto P, e quindi l'area del triangolo PNM sarà inevitabilmente in funzione di x

[gabriello47]

giammaria:[quote=gabriello47] il triangolo $PMH$ dovrebbe essere uguale $APM$, avendo un lato e 2 angoli uguali.

Non capisco quale sia il lato uguale: a me sembrano tutti diversi.
Se un triangolo è $PMH$ e l'altro $APM$ mi pare ovvio che hanno $PM$ in comune.

Comunque il secondo criterio di eguaglianza (anche generalizzato) non si accontenta che siano uguali un lato e due angoli: gli angoli devono essere egualmente disposti rispetto a quel lato. Per ben vederlo, prendi un triangolo rettangolo (con cateti diversi) e traccia l'altezza relativa all'ipotenusa, ottenendo altri due triangoli rettangoli. Considerati due qualsiasi di questi tre triangoli, sono diversi pur avendo uguali un lato e due angoli.
Su questo punto non avevo riflettuto: la parolina "ordinatamente" che troviamo nella tesi dei criteri d'uguaglianza l'avevo dimenticata.

Quanto alla soluzione del problema, il testo da un'espressione in $a$. Mi conforta che anche a voi risulti impossibile.

Grazie a tutti.

[giammaria2]

"gabriello47": Se un triangolo è $PMH$ e l'altro $APM$ mi pare ovvio che hanno $PM$ in comune.

Avevi detto esplicitamente che H è il piede dell'altezza relativa a PM e ne consegue che i punti P, M, H sono allineati e non formano un triangolo; l'avevo notato, ma pensavo fosse un errore di battitura per PNH. Evidentemente volevi dire qualcos'altro e la tua figura è diversa dalla mia; non merita però cercare di chiarire visto che hai capito l'errore.
Quanto all'equazione, la mia impossibilità deriva dal fatto che hai omesso un dato, probabilmente il valore dell'area; in sua assenza non si può impostare nessuna equazione, come è stato fatto notare da Nicole93.