Problema di geometria piana

[valenta93]

ciao a tutti!
per domani ho da fare questo problema che reputo impossibile (perchè troppo difficile xD)
ecco il testo:

il lato di un triangolo equilatero ABC misura a. sia D il punto medio di AB. la perpendicolare condotta da D a CB interseca CB in H.
determina sul lato AC un punto F tale che, detta FK la perpendicolare a CB, l'area del trapezio DFKH sia 7/16 dell'area del triangolo


soluzione: AF= a/2*(a +/- radice di 2/2)

io tramite i triangoli rettangolo di 30° e 60° sono riuscita a trovarmi qualcosa, ma non sono riuscita a risolverlo.
la risolvente penso sia il rapporto tra le aree.
non ho capito se devo scegliere un incognita oppure a lo + già.
grazie vale =) ^^

[ciampax]

Basta fare delle semplici considerazioni sui triangoli DBH e FKC i quali risultano entrambi metà di un triangolo equilatero. Puoi porre

[math]AF=x[/math]

e hai, essendo

[math]AD=DB=a/2[/math]

[math]\frac{DB}{CA}=\frac{BH}{AD}=\frac{DH}{CD}[/math]

[math]\frac{CF}{CA}=\frac{CK}{AD}=\frac{FK}{CD}[/math]

da cui, ricordando che

[math]AC=a,\ CD=\sqrt{3} a/2,\ CF=a-x[/math]

si ha

[math]BH=\frac{a}{4},\qquad DH=\frac{\sqrt{3}}{4} a[/math]

[math]CK=\frac{a-x}{2},\qquad FK=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-x).[/math]

Inoltre

[math]HK=CB-BH-CK=\frac{a+2x}{4}[/math]

e quindi, essendo l'area del triangolo

[math]A_T=(AB\cdot CD)/2=\sqrt{3} a^2/4[/math]

abbiamo

[math]\frac{1}{2}\cdot HK\cdot(DH+FK)=\frac{7}{16}\cdot\frac{\sqrt{3} a^2}{4}[/math]

e quindi

[math]\frac{\sqrt{3}}{32}(a+2x)(3a-2x)=\frac{7\sqrt{3} a^2}{64}[/math]

che porta alla equazione in x

[math]8x^2-8ax+a^2=0[/math]

le cui soluzioni sono quelle che cerchi.

[valenta93]

ok grazie mille.
stranamente ho capito =D ^^

[ciampax]

Prego. Chiudo!