Problema di Geometria Euclidea e Algebra. Un aiuto?
Buongiorno,
vorrei sottoporvi un problema di geometria euclidea da risolvere via algebrica.
Purtroppo, non riesco a trovare il punto d'inizio. Grazie per il vostro indispensabile aiuto.
Raffaele
Problema
Considera un rettangolo ABCD, in cui $\bar(AB)$ = 2r e $\bar(BC)$ = r. Chiama E il punto medio di AB e traccia l'arco di circonferenza che ha centro in A e come estremi i punti D ed E. Determina su tale arco un punto P, in modo che risulti:
$PA^2$ + $PB^2$ + $PC^2$ + $PD^2$ = $8r^2$
RISPOSTE E SUGGERIMENTI
[Indicate con H e K le proiezioni su AB e su AD e posto PK = x e PH = y, si trova x = $[(6-sqrt11)/10]r$; y = $[(3+2sqrt11)/10]r$.
Grazie a tutti.
vorrei sottoporvi un problema di geometria euclidea da risolvere via algebrica.
Purtroppo, non riesco a trovare il punto d'inizio. Grazie per il vostro indispensabile aiuto.
Raffaele
Problema
Considera un rettangolo ABCD, in cui $\bar(AB)$ = 2r e $\bar(BC)$ = r. Chiama E il punto medio di AB e traccia l'arco di circonferenza che ha centro in A e come estremi i punti D ed E. Determina su tale arco un punto P, in modo che risulti:
$PA^2$ + $PB^2$ + $PC^2$ + $PD^2$ = $8r^2$
RISPOSTE E SUGGERIMENTI
[Indicate con H e K le proiezioni su AB e su AD e posto PK = x e PH = y, si trova x = $[(6-sqrt11)/10]r$; y = $[(3+2sqrt11)/10]r$.
Grazie a tutti.
Risposte
Dimenticavo di dire che ho provato a risolverlo in più modi, disegnando la figura anche con Geogebra per essere sicuro di alcuni passaggi.
Non riesco però a capire come posso esprimere in funzione di (x) o di (y) la relazione data dal problema. L'equazione che mi viene fuori è sempre in due variabili; inoltre, non riesco ad impostare un eventuale sistema a due incognite. Insomma, mi sono impatanato.
Grazie ancora.
Raffaele
Non riesco però a capire come posso esprimere in funzione di (x) o di (y) la relazione data dal problema. L'equazione che mi viene fuori è sempre in due variabili; inoltre, non riesco ad impostare un eventuale sistema a due incognite. Insomma, mi sono impatanato.
Grazie ancora.
Raffaele
Benvenuto nel forum. Metti sistema l'equazione ottenuta dalla formula data con quella che dice che $P$ sta su quell'arco, cioè con $x^2+y^2=r^2$, con le limitazioni opportune.
Grazie mille. Ho provato ma i calcoli mi sembrano molto complessi, in particolare perchè mi rimane un -4rx nell'equazione che mi blocca... Forse non ho ancora capito io.... Mi aiuteresti ancora?
Grazie.
Raffaele
Grazie.
Raffaele
I miei calcoli mi conducono ad un sistema di due equazioni di cui la prima è:
$4r^2$ + $4y^2$ -8rx -4ry + $2r^2$ = 0
Che metto a sistema con l'equazione del punto P sull'arco $x^2$ + $y^2$ = $r^2$
Sinceramente, sebbene io sia abbastanza bravo con il calcolo, mi sono bloccato.....
Raffaele
$4r^2$ + $4y^2$ -8rx -4ry + $2r^2$ = 0
Che metto a sistema con l'equazione del punto P sull'arco $x^2$ + $y^2$ = $r^2$
Sinceramente, sebbene io sia abbastanza bravo con il calcolo, mi sono bloccato.....
Raffaele
Dalla prima equazione sottrai la seconda moltiplicata per 4:
$(4x^2+4y^2-8rx-4ry+2r^2)-4(x^2+y^2-r^2)=0$
I termini di secondo grado scompaiono e puoi ricavare una delle due incognite, che sostituisci in una delle due equazioni iniziali (meglio la seconda, più semplice).
P.S. La mia formula è stata ottenuta mettendo fra segni del dollaro (4x^2+4y^2-8rx-4ry+2r^2)-4(x^2+y^2-r^2)=0
$(4x^2+4y^2-8rx-4ry+2r^2)-4(x^2+y^2-r^2)=0$
I termini di secondo grado scompaiono e puoi ricavare una delle due incognite, che sostituisci in una delle due equazioni iniziali (meglio la seconda, più semplice).
P.S. La mia formula è stata ottenuta mettendo fra segni del dollaro (4x^2+4y^2-8rx-4ry+2r^2)-4(x^2+y^2-r^2)=0
Grazie.... Geniale. Non avevo pensato al metodo della sottrazione...
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