Problema di Geometria (Dimostrazione)

[lamisslove65]

Salve ragazzi, mi potreste aiutare dimostrando questo problema di geometria?

Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha le diagonali perpendicolari. Dimostra che congiungendo i punti medi dei suoi lati si ottiene un quadrilatero inscrittibile in una circonferenza. In quale caso tale quadrilatero è anche circoscrittibile?

Grazie Mille in anticipo

[Max 2433/BO]

Scusami tantissimo per il ritardo, ma ci ho messo un po' a capire come doveva essere risolto...

... in pratica il tutto si basa, praticamente, sull'applicazione ripetuta del II° criterio di congruenza dei triangoli.

Ti allego la figura che ho utilizzato.

ABCD è il nostro quadrilatero di partenza

DB e AC sono le diagonali perpendicolari del quadrilatero ABCD

E, F, G, H sono i punti medi rispettivamente di AB, BC, CD, AD, per cui avremo:

AE=AB

BF=FC

CG=GD

DH=HA

Consideriamo il triangolo rettangolo AKD retto in K, tracciamo la parallela Hp ad AK e la parallela Hm a DK, otteniamo altri due triangoli rettangoli:

AmH e HpD, retti in p e m (angoli corrispondenti di rette parallele)

Gli angoli DHp e HAm sono anche loro uguali perchè corrispondenti di rette parallele, di conseguenza anche gli angoli HDp e AHm saranno uguali.

A questo punto, visto che per i dati del problema AH=DH, per il II° criterio di congruenza i due triangoli in questione sono congruenti e quindi avremo che:

DP = Hm

Hp = Am

Adesso consideriamo il triangolo rettangolo DKC e tracciamo Gp parallela ad AC e Go parallela a DK, e otteniamo i due triangoli rettangoli DpG e GoC retti rispettivamente in p e o.

Per quanto già detto prima, anche questi triangoli, per il II° principio di congruenza, sono congruenti e pertanto possiamo scrivere che:

DP = Go

Co = Gp

Ma se Dp = Hm e Dp = Go, allora Hm = Go e i due punti G e H appartengono alla stessa retta, di cui farà parte il segmento GH, parallela ad AC (Essendo sia Hm che Go parallele a DK che, sua volta è, per i dati del problema perpendicolare ad AC, G e H si trovano alla medesima distanza da AC)

Applicando questo ragionamento ripetutamente ai triangoli CoF - FnB e BnE - EmA, alla fine si otterrà che:

G e F appartengono alla stessa retta , di cui fa parte il segmento GF, parallela ad DB

E e F appartengono alla stessa retta , di cui fa parte il segmento EF, parallela ad AC, e di conseguenza EF è parallelo a GH

E e H appartengono alla stessa retta , di cui fa parte il segmento EH, parallela ad DB, e di conseguenza EH è parallelo a GF

Dal momento che, DB e AC sono perpendicolari tra di loro (dato del problema) gli angoli E, F, G e H saranno, a loro volta retti (coniugati interni di rette parallele) quindi il quadrilatero EFGH è un rettangolo.

Il rettangolo, avendo le semidiagonali congruenti tra loro, è sempre inscrittibile in una circonferenza (la diagonale di un rettangolo è diametro della circonferenza).

Per essere anche circoscrittibile, il quadrilatero EFGH doveva essere un quadrato, unico parallelogramma possibile con i dati del problema.

Spero che vada tutto bene come dimostrazione.

:hi

Massimiliano