Problema di geometria difficile

[maria601]

Sia AB il cateto maggiore del triangolo ABC rettangolo in B, sia BH l'altezza relativa ad AC e sia T il punto comune alla circonferenza di centro H e raggio HB e ad una tangente ad essa condotta da A. Si dimostri che la distanza di T dalla retta BH è uguale ad HC.
Ho provato ma non riesco , si dovrebbe applicare Euclide ed una incognita Help

[G.D.5]

[mod="WiZaRd"]È vietato il multiposting. Ho chiuso ed eliminato, quindi, l'altro topic. La discussione prosegue in questo topic. Affinché questa discussione possa però proseguire, ti devo chiedere di mostrarci a che punto sei arrivata.[/mod]

[maria601]

Scusa ma è perchè non riuscivo a mandare il messaggio. Ho fatto la figura, ma non riesco a collegare i segmenti con delle relazioni, vi sono diversi triangoli rettangoli, ma non trovo relazioni.

[giammaria2]

Indico con TK la distanza di cui si parla e pongo $AH=a$ e $HB=r$. Per il secondo teoreme di Euclide si ha
$AH*HC=HB^2 \Rightarrow HC=r^2/a$
Ragionando sugli angoli, si dimostra facilmente che i truangoli KTH e AHT sono simili, quindi
$TK:HT=HT:AH \Rightarrow TK=r^2/a=HC$

[maria601]

Ti posso chiedere se c'è un modo di dimostrare senza la similitudine, perchò non è stata ancora studiata. Grazie.

[giammaria2]

C'è più di un metodo, ma tutti lunghetti. Uno è questo: da AHT calcoli AT con Pitagora; da AHL (L è l'intersezione di AT con BH) calcoli AL con I di Euclide e ne deduci TL=AL-AT e poi LH (I EUclde su AHL o Pitagora su TLH). Infine usi la formula HT*TL= LH*TK, perchè entrambe danno il doppio dell'area di HTL

[maria601]

Quale relazione intercorre con HC ? Qualcosa non mi è chiaro

[giammaria2]

Nell'ultimo intervento ho messo solo i calcoli per TK: HC lo calcoli come indicato in quello precedente.