Problema di geometria (criteri di congruenza)

[alfredo14]

Chiedo un aiuto per completare la dimostrazione di un problema di geometria (due delle tre tesi credo di averle dimostrate).

Nel triangolo isoscele ABC (ipotesi 1) di base AB, considera sul prolungamento della base i segmenti congruenti AD e BE (ipotesi 2). Sui lati obliqui AC e BC prendi i punti P e Q tali che AP sia congruente con BQ. Dimostra che:
a) $PE~=DQ$;
b) detto M il punto di intersezione di DQ con PE, il triangolo DME è isoscele;
c) M appartiene alla bisettrice di $A\hat CB$

La dimostrazione alla quale ho pensato è la seguente.

I triangoli BQD e APE sono congruenti in quanto BD è congruente con AE (Ip.3) e $C\hat BA~=A\hat CB$ (Ip.1). Da ciò si deduce la tesi a).

Dalla tesi a), inoltre, deduciamo che $P\hat EA~=Q\hat DB$; del che la tesi b);

Per la tesi c) mi trovo in difficoltà.

[G.D.5]

$M$ è il vertice di un triangolo isoscele, quindi la sua proiezione sulla base di questo triangolo dimezza la base medesima, ma essendo $AD=BE$, la proiezione dimezza anche $AB$.

[alfredo14]

Grazie WiZaRd, questa osservazione mi era del tutto sfuggita.

[G.D.5]

Prego.

[nontrivialzero]

"alfredo":

I triangoli BQD e APE sono congruenti in quanto BD è congruente con AE (Ip.3) e $C\hat BA~=A\hat CB$ (Ip.1). Da ciò si deduce la tesi a).

Scusate ma se il triangolo ABC è isoscele di base AB, come fanno ad essere congruenti gli angoli $C\hat BA~=A\hat CB$ ?
Forse si tratta di un errore di battitura ma è meglio correggere per non creare confusione in chi legge le dimostazioni per imparare. Dovrebbe essere $C\hat BA~=C\hat AB$