Problema di geometria con punto mobile

[asdrubalegirolamo]

In un triangolo isoscele ABC la base AB e l'altezza CH misurano a. Determinare su CH un punto P tale che, indicate rispettivamente con R ed S le proiezioni di P sui lati AC e CB risulti: CP^2 + PS^2 + PR^2 = 7/20a^2. Si determini successivamente la misura del raggio inscritta nel quadrilatero PRCS. [ CP=1/2a; √5/15a]

[mc2]

Innanzi tutto devi fare il disegno.

Poi osservi che:

[math]AH=\frac{1}{2}a[/math]

e

[math] AC=\frac{\sqrt{5}}{2}a[/math]

(teor.Pitagora)

PR=PS

I triangoli rettangoli AHC e CRP sono simili.

Poni PC=x

CP:AC=PR:AH

Quindi

[math]PR=\frac{x}{\sqrt{5}}[/math]

Sostituisci nella relazione del problema e risolvi.

Aggiunto 32 minuti più tardi:

Dalla similitudine AHC e CRP si ha anche CR:CH=RP:AH cioe`

[math]CR=2\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}[/math]

I triangoli CRS e CAB sono simili, quindi

[math]CR=\frac{\sqrt{5}}{2}RS[/math]

percio`

[math]RS=\frac{2}{\sqrt{5}}CR=\frac{2}{5}a[/math]

Il quadrilatero RPSC ha le diagonali perpendicolari tra di loro, quindi la sua area e`:

[math]S_{RPSC}=\frac{1}{2}CP\cdot RS=\frac{1}{10}a^2[/math]

Ma l'area del quadrilatero si puo` ottenere anche con la formula:

[math]S_{RPSC}=\frac{1}{2}perimetro \cdot raggio~del~cerchio~inscritto=\\
=semiperimetro \cdot raggio~del~cerchio~inscritto=p\cdot r
[/math]

semiperimetro:

[math]p=CR+RP=\frac{a}{\sqrt{5}}+\frac{a}{2\sqrt{5}}=\frac{3a}{2\sqrt{5}}[/math]

quindi

[math]r=S_{RPSC}/p[/math]

e ti basta finire i calcoli.