Problema di geometria con limiti
Salve a tutti! Questa è la prima volta che partecipo a questo forum e spero che possiate essermi d'aiuto! la prof. di matematica mi ha dato un problema che non riesco a risolvere. Ve lo propongo nella speranza che qualcuno possa aiutarmi, anche solo ad impostare la risoluzione.
La traccia è la seguente:
Nel quadrato ABCD di lato 2a, sia M il punto medio BC; preso un punto L sul segmento DM e indicate con H e K le proiezioni di L rispettivamente sui lati AD e DC, determina il rapporto fra le aree dei triangoli ALH e LKC e calcolane il limite al tendere di L a D.
volevo poi chiedervi dove posso trovare altri esercizi di questo genere, già svolti, per potermi allenare in vista del prossimo compito.
Vi RINGRAZIO per la vostra attenzione e per l'aiuto che mi darete!!!
La traccia è la seguente:
Nel quadrato ABCD di lato 2a, sia M il punto medio BC; preso un punto L sul segmento DM e indicate con H e K le proiezioni di L rispettivamente sui lati AD e DC, determina il rapporto fra le aree dei triangoli ALH e LKC e calcolane il limite al tendere di L a D.
volevo poi chiedervi dove posso trovare altri esercizi di questo genere, già svolti, per potermi allenare in vista del prossimo compito.
Vi RINGRAZIO per la vostra attenzione e per l'aiuto che mi darete!!!
Risposte
Prova a raccontarci un po' come hai iniziato o pensato di procedere
tanto per iniziare penso sia importante capire il problema e quindi ti mostro il grafico che ho costruito.
http://it.tinypic.com/view.php?pic=14b6gr6&s=6
il problema è determinare il rapporto tra le aree dei triangoli in grigio. Precisamnete AHL/LCK.
Poi trovare a quale valore tende questo rapporto, se L tende a D.
In base ai dati a disposizione posso calcolare subito i dati relativi al triangolo DMC... ma poi? ho pensato che poiché il problema mi chiede di prendere un punto L a piacere, potrei prendere un punto "particolare" per esempio il punto medio del segmento MD a cui corrisponderebbero misure note del nuovo punto L: pari ad a/4 sul lato BC e a/2 sul lato DC.. non so se il mio ragionamento è corretto..
a proposito il risultato è {2}.
http://it.tinypic.com/view.php?pic=14b6gr6&s=6
il problema è determinare il rapporto tra le aree dei triangoli in grigio. Precisamnete AHL/LCK.
Poi trovare a quale valore tende questo rapporto, se L tende a D.
In base ai dati a disposizione posso calcolare subito i dati relativi al triangolo DMC... ma poi? ho pensato che poiché il problema mi chiede di prendere un punto L a piacere, potrei prendere un punto "particolare" per esempio il punto medio del segmento MD a cui corrisponderebbero misure note del nuovo punto L: pari ad a/4 sul lato BC e a/2 sul lato DC.. non so se il mio ragionamento è corretto..
a proposito il risultato è {2}.
Questo problema si risolve usando la trigonometria.
Infatti i triangoli LHA e KLC sono rettangoli e lì puoi usare la trigonometria una volta che ne determini gli angoli.
Ma gli angoli sono facili da determinare perchè il punto M iniziale era un punto medio e quindi il triangolo MDC è la metà di un triangolo equilatero (e i triangoli equilateri hanno gli angoli di 60° o $\pi/3$ come preferisci
Infatti i triangoli LHA e KLC sono rettangoli e lì puoi usare la trigonometria una volta che ne determini gli angoli.
Ma gli angoli sono facili da determinare perchè il punto M iniziale era un punto medio e quindi il triangolo MDC è la metà di un triangolo equilatero (e i triangoli equilateri hanno gli angoli di 60° o $\pi/3$ come preferisci
Ciao! intanto grazie per aver risposto. Volevo chiederti ma se il triangolo MDC ha la base (a) e altezza (2a), il lato (ipotenusa) è maggiore di a, per cui come fa ad essere equilatero il trinagolo costruito con esso? potresti chiarirmi??
Scusami, hai ragione tu.
Ho scritto una cavolata.
Ora devo andare a mangiare.
Poi provo a darti un altro metodo risolutivo.
Ciao
Ho scritto una cavolata.
Ora devo andare a mangiare.
Poi provo a darti un altro metodo risolutivo.
Ciao
Per risolvere questo esercizio conviene inserire un sistema di coordinate. Possiamo ad esempio supporre che l'origine sia in $D$ e che i due assi siano paralleli a $DC$ e $DA$. I punti avranno quindi coordinate:
[tex]A \equiv (0, 2a) \; B \equiv (2a, 2a) \; C \equiv (0, 2a) \; D \equiv (0,0) \;[/tex]
[tex]M \equiv (2a, a) \; L(t) \equiv (2at, at) \; H(t) \equiv (0, at) \; K(t) \equiv (2at, 0)[/tex]
Se tracci le rette a cui appartengono $HL$ e $KL$ nel grafico in modo da formare i punti $H'$ in $BC$ e $K'$ in $AB$ noterai che l'area dei due triangoli è la metà di quella dei rettangoli $HLK'A$ e $KLH'C$. Il rapporto tra i triangoli sarà quindi semplicemente il rapporto tra i rettangoli che avranno aree $S(HLK'A) = (2a - at)2at = 2a^2t(2 - t)$ e $S(KLH'C) = (2a - 2at)at = 2a^2t(1 - t)$. Ti lascio da calcolare il limite della quantita $(S(HLK'A))/(S(KLH'C))$ per $t$ che tende a $0$ (e quindi $L$ che tende a $D$ lungo la retta $DH$).
[tex]A \equiv (0, 2a) \; B \equiv (2a, 2a) \; C \equiv (0, 2a) \; D \equiv (0,0) \;[/tex]
[tex]M \equiv (2a, a) \; L(t) \equiv (2at, at) \; H(t) \equiv (0, at) \; K(t) \equiv (2at, 0)[/tex]
Se tracci le rette a cui appartengono $HL$ e $KL$ nel grafico in modo da formare i punti $H'$ in $BC$ e $K'$ in $AB$ noterai che l'area dei due triangoli è la metà di quella dei rettangoli $HLK'A$ e $KLH'C$. Il rapporto tra i triangoli sarà quindi semplicemente il rapporto tra i rettangoli che avranno aree $S(HLK'A) = (2a - at)2at = 2a^2t(2 - t)$ e $S(KLH'C) = (2a - 2at)at = 2a^2t(1 - t)$. Ti lascio da calcolare il limite della quantita $(S(HLK'A))/(S(KLH'C))$ per $t$ che tende a $0$ (e quindi $L$ che tende a $D$ lungo la retta $DH$).
Penso di aver trovato un buon modo per farlo e te lo spiego.
Il punto L può variare e quindi dobbiamo usare un'incognita che ci determini il punto L.
Chiamiamo $x$ l'ascissa di L (cioè $x=HL$).
Allora, dato che M è il punto medio, si ha che l'ordinata di L è $x/2$.
Per convincertene puoi fare così:
Mettiamo gli assi centrati in D e quindi D è il punto (0,0).
Allora M è il punto (2a,a).
La retta che li unisce si trova con la formula:
$(y-y_D)/(y_M-y_D)=(x-x_D)/(x_M-x_D)$
e quindi è
$(y-0)/(a-0)=(x-0)/(2a-0)$ cioè $y/a=x/(2a)$ cioè $y=x/2$
Ora L si trova su questa retta e quindi se ha ascissa $x$ allora ha ordinata $x/2$.
Perciò il punto L ha ascissa $x$ e ordinata $x/2$.
Quindi $x=HL$ e $x/2=LK$ e quindi $HL=2*LK$
Ora $AH=2a-x/2$ e $KC=2a-x$
Quindi il rapporto fra le aree è:
$(LH*AH)/(KC*LK)=(2*LK*(2a-x/2))/(LK*(2a-x))=(2*(2a-x/2))/(2a-x)=(4a-x)/(2a-x)$
e ovviamente dipende da $x$ (cioè da L)
Ora dobbiamo calcolare il limite per L che tende a D.
Ora dire che L tende a D significa dire che $x$ tende a 0.
Devi quindi calcolare:
$\lim_{x \to 0}(4a-x)/(2a-x)=(4a)/(2a)=2$
e hai finito
Hai capito?
Il punto L può variare e quindi dobbiamo usare un'incognita che ci determini il punto L.
Chiamiamo $x$ l'ascissa di L (cioè $x=HL$).
Allora, dato che M è il punto medio, si ha che l'ordinata di L è $x/2$.
Per convincertene puoi fare così:
Mettiamo gli assi centrati in D e quindi D è il punto (0,0).
Allora M è il punto (2a,a).
La retta che li unisce si trova con la formula:
$(y-y_D)/(y_M-y_D)=(x-x_D)/(x_M-x_D)$
e quindi è
$(y-0)/(a-0)=(x-0)/(2a-0)$ cioè $y/a=x/(2a)$ cioè $y=x/2$
Ora L si trova su questa retta e quindi se ha ascissa $x$ allora ha ordinata $x/2$.
Perciò il punto L ha ascissa $x$ e ordinata $x/2$.
Quindi $x=HL$ e $x/2=LK$ e quindi $HL=2*LK$
Ora $AH=2a-x/2$ e $KC=2a-x$
Quindi il rapporto fra le aree è:
$(LH*AH)/(KC*LK)=(2*LK*(2a-x/2))/(LK*(2a-x))=(2*(2a-x/2))/(2a-x)=(4a-x)/(2a-x)$
e ovviamente dipende da $x$ (cioè da L)
Ora dobbiamo calcolare il limite per L che tende a D.
Ora dire che L tende a D significa dire che $x$ tende a 0.
Devi quindi calcolare:
$\lim_{x \to 0}(4a-x)/(2a-x)=(4a)/(2a)=2$
e hai finito
Hai capito?
GRAZIE MILLLE!!! davvero entrambe geniali.. ho capito perfettamente! e non ci sarei mai arrivato!! Grazie davvero!!!
Prego.
Figurati.
E poi era mio dovere visto la sciocchezza che mi è scappata prima.
Sono contento di esserti stato utile.
Alla prossima
Figurati.
E poi era mio dovere visto la sciocchezza che mi è scappata prima.
Sono contento di esserti stato utile.
Alla prossima
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