Problema di geometria con discussione

[Ziben]

Ciao a tutti.
Sono incappato nel seguente problema (tratto da "complementi di algebra e nozioni di analisi matematica" G. Zwirner 9ed. pag 685 #58):
Sopra l'arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio r, determinare un punto P in modo che congiunto P con il punto medio M del raggio OA, il quadrangolo OMPB stia in rapporto k con il quadrato che ha per lato il raggio r. Discussione [ 1 sol. per $ 0 < k < 2 $ ; 2 sol. per $ 2\leqslant k\leqslant \frac{9}{4} $ ]

La figura risultante dovrebbe essere quella precedente: Procedo così: interpreto il rapporto come rapporto fra aree e penso di calcorare l'area di OMPB sommando le aree dei trinagoli componenti OMB e PMB. l'area del primo risulta $ (r)^(2) / 4 $. Per calcolare l'area di PMB penso di sfruttare la formula di erone e cerco allora la lunghezza dei lati di PMB. Pongo 2x l'angolo POB cosicchè $ PB = 2rsin x $ (dal teorema dei seni). Col teorema di pitagora ricavo $ BM = rsqrt(5) / 2 $. Poi mi blocco nel determinare PM. Avete suggerimenti? Grazie mille in anticipo.

[@melia]

Sfrutta il teorema "l'area di un triangolo è il semiprodotto tra due lati consecutivi e il seno dell'angolo tra essi compreso", così puoi risolvere il problema utilizzando i due triangoli POB e POM, dei quali conosci due lati e l'angolo compreso. Usando questo teorema probabilmente ti conviene indicare semplicemente $hat(POB)=x$.

[Ziben]

Ohibò, questa non la sapevo (chi è che diceva beata l'ignoranza?) grazie infinite Sara. Ho provato a risolverlo seguendo le tue indicazioni. Quindi:
$ x = Phat{O} B $, perciò $ Phat{O}M = pi / 2 -x $. Col teorema suggeritomi l'area del triangolo POB risulta $ = (r)^(2) / 2sin x $ mentre l'area del triangolo POM risulta $ = (r)^(2) / 4cos x $.

Sbirciando la soluzione fornita dal libro (cosa che non avrei dovuto fare l'ammetto) noto che k può assumere sia valori maggiori che minori di uno. Al che mi chiedo: l'area di OMPB è sempre inferiore all'area del quadrato che ha raggio r, allora k < 1 se OMPB è al numeratore nel rapporto e k > 1 se è al denominatore: quale dei due tipi di rapporti devo considerare? Ho interpretato male il testo?
Vado avanti scegliendo di porre l'area di OMPB al denominatore e risolvo così:
$ (r)^(2) / ((r)^(2) / 2sinx + (r)^(2) / 4cos x) = k $ da cui $ ksin x + k / 2 cos x = 2 $
ponendo $ X = cos x $ e $ Y = sin x $ ,ricavo l'eqz. $ Y = -1 / 2 cos x + 2 / k $ che metto a sistema con $ (X)^(2) + (Y)^(2) = 1 $ tenedo conto che $ 0 <= x <= pi / 2 $.
Sostituendo l'eqz. lineare in quella quadratica del sistema e imponendo la realtà delle radici ( $ Delta >= 0 $ ) poichè k > 0 ricavo che deve essere $ k >= 4 / sqrt(5) $.

dalla figura ricavo che nel punto (0;1) k=2 e nel punto (1;0) K=4. Perciò ottengo [ 2 sol. per $ 4 / sqrt(5) <= k <= 2 $, 1 sol. per $ 2 < k <= 4 $ ] che non centra nulla con il risultato fornito dal libro. Boh? Sapete dirmi dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Hai semplicemente invertito il rapporto tra le $2$ aree.

[Ziben]

Non sarò un fulmine ma nemmeno così fesso da non aver provato il rapporto inverso. Invertendo il rapporto ottengo:
[ 1 sol. per $ 1 / 4 <= k < 1 / 2 $ ; 2 sol. per $ 1 / 2 <= k <= sqrt(5) / 4 $ ] ben diversa dalla soluzione riportata nel libro:
[ 1 sol. per $ 0 < k < 2 $; 2 sol. $ 2 <= k <= 9 / 4 $ }.
Grazie comunque per la risposta

[Sk_Anonymous]

Ok, anche se quella è la corretta interpretazione del testo. In ogni modo, la soluzione del libro (1 soluzione per $0

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[Ziben]

Ah ecco. Infatti come ho scritto in precedenza non riuscivo a comprendere come il rapporto potesse assumere valori superiori a 1 stando alla soluzione, dato che l'area di OMPB è sempre inferiore all'area del quadrato di raggio r.
Grazie infinite per tuo tempo.

[Sk_Anonymous]

Ottima osservazione, ancora più evidente della mia.