Problema di geometria analitica urgente

[giusicilia]

ciao mi servirebbe un problema...
vorrei che mi aiutassi...

Data la circonferenza

x^2 + y^2 - 4 = 0

Determinare la retta r passante per il punto P di coordinate (3 : 0)
e stacca sulla circonferenza una corda di lunghezza 2.

Io ho impostato cosi:
Innanzi tutto mi sono trovata una retta passante per il punto P (3;0) con la formula della retta passante per un punto
y - y' = m ( x - x') => y = mx - 3m

una volta fatto questo ho messo a sistema la retta e l'equazione per trovare i punti di intersezione e sostituendo la retta y = mx - 3m alla circonferenza ho ottenuto:

x^2 + (mx - 3m )^2 - 4 = 0
da cui

x^2 + m^2 x^2 - 6m^2 x + 9m^2 - 4 = 0

adesso vorrei che tu mi sviluppazssi questa equazione trovando i due punti che dovrebbero essere

x' = √2/m x" = 4m√2 - 3

y' = √2 - 3m y" = 4m^2 √2

adesso una volta fatto questo per trovare la retta bisogna trovare il paramentro m
ke in questo caso sarebbe anke il coefficente angolare
e avendo le coordinate dei 2 punti e la corda potremmo fare la distanza tra due punti
quindi verrebbe fuori

d = √( x"- x')^2 + ( y"- y')^2
da cui

2 = √( 4m√2 - 3 - √2/m )^2 + ( 4m^2 √2 - √2 + 3m)^2

adesso vorrei che tu mi trovassi m facendomi vedere tutti i calcoli perche non mi esce...

i risultati sono

y = √2/2 ( x - 3 ) e y = - √2/2 ( x - 3 )

per cui due soluzioni di m cioe +/- √2/2

il simbolo ^2 sta a significare al quadrato cioe un esponente

Aggiunto 1 giorni più tardi:

si ma tu ai svolto l'equazione...
io voglio vedere come trovi il parametro m...
che sarebbe il coefficente angolare...
cosi da sostituire alla retta...

[the.track]

[math]x^2 + m^2 x^2 - 6m^2 x + 9m^2 - 4 = 0[/math]

Sistemiamo secondo la

[math]x[/math]

questo polinomio.

[math](1+m^2)x^2 - 6m^2 x + (9m^2 - 4) = 0[/math]

Adesso dobbiamo trovare le soluzioni a questa equazione di secondo grado in x, usando la solita formula.

[math]x_{1;2}=\frac{3m^2\pm \sqrt{9m^4-(1+m^2)(9m^2-4)}}{1+m^2}[/math]

Che è una bella porcheria. Per semplificare i calcoli sostituiamo:

[math]t=m^2[/math]

ottenendo:

[math]x_{1;2}=\frac{3t\pm \sqrt{9t^2-(1+t)(9t-4)}}{1+t}[/math]

Semplifichiamo:

[math]x_{1;2}=\frac{3t\pm \sqrt{9t^2-(9t-4+9t^2-4t)}}{1+t}[/math]

[math]x_{1;2}=\frac{3t\pm \sqrt{9t^2-9t+4-9t^2+4t)}}{1+t}[/math]

[math]x_{1;2}=\frac{3t\pm \sqrt{-5t+4)}}{1+t}[/math]

Risostituiamo:

[math]x_{1;2}=\frac{3m^2\pm \sqrt{-5m^2+4)}}{1+m^2}[/math]

[math]x_{1;2}=\frac{3m^2\pm \sqrt{(2-\sqrt{5}m)(2+\sqrt{5}m)}}{1+m^2}[/math]

Adesso ricontrollo i calcoli poi aggiorno.

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Siccome non mi sembra di avere sbagliato i calcoli, sei sicura della correttezza del testo?

Aggiunto 21 ore 57 minuti più tardi:

Ciampax la circonferenza è centrata nell'origine ed ha raggio 2. Se viene tagliata dalla retta y=0 non stacca una corda di 2 ma di 4. O Sbaglio?

[ciampax]

The Track ha svolto i calcoli in maniera corretta. Ora, quello che ottieni sono le coordinate dei punti di intersezione tra la retta e la circonferenza:

[math]A\left(\frac{3m^2+\sqrt{D}}{2},m\cdot\frac{3m^2+\sqrt{D}}{2}-3m\right)\\
B\left(\frac{3m^2-\sqrt{D}}{2},m\cdot\frac{3m^2-\sqrt{D}}{2}-3m\right)[/math]

dove ho posto

[math]D=4-5m^2[/math]

. A questo punto, imponiamo che

[math]AB=2[/math]

: questo porta a scrivere l'equazione seguente

[math]\sqrt{\left(\frac{3m^2+\sqrt{D}}{2}-\frac{3m^2-\sqrt{D}}{2}\right)^2+\left(m\cdot\frac{3m^2+\sqrt{D}}{2}-3m-m\cdot\frac{3m^2-\sqrt{D}}{2}+3m\right)^2}[/math]

[math]2=\sqrt{\left(\sqrt{D}\right)^2+\left(m\sqrt{D}\right)^2}[/math]

[math]2=\sqrt{D(1+m^2)}[/math]

da cui

[math]4=(4-5m^2)(1+m^2)[/math]

e quindi

[math]5m^4+m^2=0\ \Leftrightarrow\ m^2(5m^2+1)=0[/math]

la cui unica soluzione è

[math]m=0[/math]

, per cui la retta cercata è

[math]y=0[/math]

.

Con i dati che hai fornito, la soluzione è questa. Quindi o il tuo libro sbaglia, oppure ci hai scritto una traccia sbagliata!

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Già, vero... pero i conti così tornano. Mmmmm.... c'è qualcosa che non mi torna. Ci penso!