Problema di geometria analitica su circonferenza e triangolo

[brian2000ber]

Giorno a tutti ragazzi, ho un quesito da porvi di geometria analitica, il fatto è che sono riuscito ad arrivare alla fine, ma i risultati non coincidono, vorrei che chi lo risolvesse elencasse tutti i passaggi che ha effettuato nel modo più dettagliato e corretto possibile, di seguito il testo:

I lati di un triangolo appartengono alle rette di equazioni 3x-4y-12=0, 4x+3y-12=0, y-4=0. Scrivi l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo.

grazie a tutti in anticipo

[mc2]

Se hai gia` risolto il problema non ti servono tutti i passaggi, ti servono solo i risultati per confronto.

Ci sono diversi modi per risolvere il problema.

In ogni caso occorre, prima di tutto, trovare i vertici del triangolo, cioe` i punti di intersezione delle tre rette. Sono:

[math]A(\frac{28}{3},4),~~B(0,4),~~C(\frac{84}{25},-\frac{12}{25})[/math]

Il metodo piu` semplice per trovare la circonferenza e` scrivere quella generica

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

ed imporre che passi per i punti A,B,C.

Si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite da risolvere.


Il metodo piu` furbo invece e` il seguente: le rette 3x-4y-12=0, 4x+3y-12=0 sono perpendicolari tra loro (perche' il prodotto dei loro coefficienti angolari e` -1 ), quindi il triangolo e` rettangolo ed il vertice dell'angolo retto e` l'intersezione di queste due rette (il punto C).

La circonferenza circoscritta al triangolo rettangolo ha il diametro coincidente con l'ipotenusa AB del triangolo, cioe` il centro e` nel punto medio M di AB, ed il raggio e` la distanza AM.

[math]M=(\frac{14}{3},4)\\
R=\frac{14}{3}[/math]

quindi la circonferenza e` :

[math](x-\frac{14}{3})^2+(y-4)^2=(\frac{14}{3})^2\\
x^2+y^2-\frac{28}{3}x-8y+16=0
[/math]